Bài tập Nhị thức newton có đáp án

Khai triển (a + b)n, n $\in$ {1; 2; 3; 4; 5}.

Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Với n $\in$ {1; 2: 3; 4; 5}, trong khai triển của mỗi nhị thức (a + b)n:

a) Có bao nhiêu số hạng?

b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?

c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải?

Tam giác Pascal

Viết các hệ số của khai triển (a + b)n với một số giá trị đầu tiên của n, trong bảng tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal

a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a + b)$^{7}$.

b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (2x – 1)$^{4}$.

Tính chất của các số ${C}_{n}^{k}$

a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:

(a + b)$^{1}$ = a + b $={C}_{1}^{0}a+{C}_{1}^{0}b$

(a + b)$^{2}$ = a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$ $={C}_{2}^{0}{a}^{2}+{C}_{2}^{1}ab+{C}_{2}^{0}{b}^{2}$

(a + b)$^{3}$ = a$^{3}$ + 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$ + b$^{3}$ $={C}_{3}^{0}{a}^{3}+{C}_{3}^{1}{a}^{2}b+{C}_{3}^{2}a{b}^{2}+{C}_{3}^{0}{b}^{3}$

(a + b)$^{4}$ = a$^{4}$ + 4a$^{3}$b + 6a$^{2}$b$^{2}$ + 4ab$^{3}$ + b$^{4}$ = ...

(a + b)$^{5}$ = a$^{5}$ + 5a$^{4}$b + 10a$^{3}$b$^{2}$ + 10a$^{2}$b$^{3}$ + 5ab$^{4}$ + b$^{5}$ = ...

Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, ${C}_{4}^{1}$ và ${C}_{4}^{3}$, ${C}_{5}^{2}$ và ${C}_{5}^{3}$. Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa ${C}_{n}^{k}$ và ${C}_{n}^{n-k}$ (0 ≤ k ≤ n).

b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:

(a + b)$^{1}$

(a + b)$^{2}$

(a + b)$^{3}$

(a + b)$^{4}$

(a + b)$^{5}$

Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh ${C}_{1}^{0}+{C}_{1}^{1}$ và ${C}_{2}^{1},$ ${C}_{2}^{0}+{C}_{2}^{1}$ và ${C}_{3}^{1},...$ Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa ${C}_{n-1}^{k-1}+{C}_{n-1}^{k}$ và ${C}_{n}^{k}.$

(Số các tập con của tập hợp có n phần tử)

a) Viết khai triển nhị thức Newton của (1 + x)n.

b) Cho x = 1 trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng ${C}_{n}^{k}$ (0 < k < n) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.

c) Tương tự, cho x = –1 trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.

Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển:

a) (x – 1)$^{5}$;

b) (2x – 3y)$^{4}$.

Viết khai triển theo nhị thức Newton:

a) (x + y)$^{6}$;

b) (1 – 2x)$^{5}$.

Tính tổng sau đây:

${C}_{2021}^{0}-2{C}_{2021}^{1}+{2}^{2}{C}_{2021}^{2}-{2}^{3}{C}_{2021}^{3}+\ldots -{2}^{2021}{C}_{2021}^{2021}.$