TopStudy

Đáp án và lời giải

Bài tập Nhị thức newton có đáp án

Về trang đề

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Có n + 1 số hạng, số hạng đầu tiên là an^{n} và số hạng cuối cùng là bn^{n}.

b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng đều bằng n.

c) Số mũ của a giảm 1 đơn vị và số mũ của b tăng 1 đơn vị khi chuyền từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải.

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

(a + b)0^{0}

(a + b)1^{1}

(a + b)2^{2}

(a + b)3^{3}

(a + b)4^{4}

(a + b)5^{5}

Hàng đầu quy ước gọi là hàng 0. Hàng n ứng với các hệ số trong khai triển nhị thức (a + b)n^{n}.

Từ tính chất này ta có thể tìm bất kì hàng nào của tam giác Ơasscal từ hàng ở ngay phía trên nó. Chẳng hạn ta có thể tìm hàng 6 từ hàng 5 như sau:

Hình minh hoạ

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) (a + b)7^{7} = a7^{7} + 7a6^{6}b + 21a5^{5}b2^{2} + 35a4^{4}b3^{3} + 35a3^{3}b4^{4} + 21a2^{2}b5^{5} + 7ab6^{6} + b7^{7}.

b) (2x – 1)4^{4} = [(2x + (–1)]4^{4} = (2x)4^{4} + 4(2x)3^{3}(–1) + 6(2x)2^{2}(–1)2^{2} + 4(2x)(–1)3^{3} + (–1)4^{4}

= 16x4^{4} – 32x3^{3} + 24x2^{2} – 8x + 1.

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) (a + b)4^{4} = a4^{4} + 4a3^{3}b + 6a2^{2}b2^{2} + 4ab3^{3} + b4^{4} = C40{C}_{4}^{0}a4^{4} + C41{C}_{4}^{1}a3^{3}b + C42{C}_{4}^{2}a2^{2}b2^{2} + C43{C}_{4}^{3}ab3^{3} + C44{C}_{4}^{4}b4^{4}.

(a + b)5^{5} = a5^{5} + 5a4^{4}b + 10a3^{3}b2^{2} + 10a2^{2}b3^{3} + 5ab4^{4} + b5^{5}

= C50{C}_{5}^{0}a5^{5} + C51{C}_{5}^{1}a4^{4}b + C52{C}_{5}^{2}a3^{3}b2^{2} + C53{C}_{5}^{3}a2^{2}b3^{3} + C54{C}_{5}^{4}ab4^{4} + C55{C}_{5}^{5}b5^{5}.

Ta thấy C41{C}_{4}^{1} = C43{C}_{4}^{3}, C52{C}_{5}^{2} = C53{C}_{5}^{3},...

Dự đoán: Cnk{C}_{n}^{k} = Cnn−k{C}_{n}^{n-k}.

b) Ta thấy C10+C11{C}_{1}^{0}+{C}_{1}^{1} = C21,{C}_{2}^{1}, C20+C21{C}_{2}^{0}+{C}_{2}^{1} = C31,...{C}_{3}^{1},...

Dự đoán: Cn−1k−1+Cn−1k{C}_{n-1}^{k-1}+{C}_{n-1}^{k} = Cnk.{C}_{n}^{k}.

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Dự đoán công thức khai triển trong trường hợp tổng quát:

(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+…+Cnn−1abn−1+Cnnbn.{(a+b)}^{n}={C}_{n}^{0}{a}^{n}+{C}_{n}^{1}{a}^{n-1}b+\ldots +{C}_{n}^{n-1}a{b}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{b}^{n}.

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

(x – 2y)6^{6}

=C60x6+C61x5(−2y)+C62x4(−2y)2+C63x3(−2y)3={C}_{6}^{0}{x}^{6}+{C}_{6}^{1}{x}^{5}(-2y)+{C}_{6}^{2}{x}^{4}{(-2y)}^{2}+{C}_{6}^{3}{x}^{3}{(-2y)}^{3}

+C64x2(−2y)4+C65x(−2y)5+C66(−2y)6+{C}_{6}^{4}{x}^{2}{(-2y)}^{4}+{C}_{6}^{5}x{(-2y)}^{5}+{C}_{6}^{6}{(-2y)}^{6}

=x6−C612x5y+C6222x4y2−C6323x3y3+C6424x2y4−C6525xy5+26y6.={x}^{6}-{C}_{6}^{1}2{x}^{5}y+{C}_{6}^{2}{2}^{2}{x}^{4}{y}^{2}-{C}_{6}^{3}{2}^{3}{x}^{3}{y}^{3}+{C}_{6}^{4}{2}^{4}{x}^{2}{y}^{4}-{C}_{6}^{5}{2}^{5}x{y}^{5}+{2}^{6}{y}^{6}.

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Số hạng chứa x7^{7} trong khai triển thành đa thức của (2 – 3x)10^{10} hay (–3x + 2)10^{10} là

C1010−7(−3x)7210−7=C103(−3)723x7=−2099520x7.{C}_{10}^{10-7}{(-3x)}^{7}{2}^{10-7}={C}_{10}^{3}{(-3)}^{7}{2}^{3}{x}^{7}=-2099520{x}^{7}.

Vậy hệ số của x7^{7} trong khai triển thành đa thức của (2 – 3x)10^{10} là –2099520.

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Ta có:

(x+1)n=Cn0xn+Cn1xn−11+Cn2xn−212+…+Cnn−1x1n−1+Cnn1n{(x+1)}^{n}={C}_{n}^{0}{x}^{n}+{C}_{n}^{1}{x}^{n-1}1+{C}_{n}^{2}{x}^{n-2}{1}^{2}+\ldots +{C}_{n}^{n-1}x{1}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{1}^{n}

=Cn0xn+Cn1xn−1+Cn2xn−2+…+Cnn−1x+Cnn.={C}_{n}^{0}{x}^{n}+{C}_{n}^{1}{x}^{n-1}+{C}_{n}^{2}{x}^{n-2}+\ldots +{C}_{n}^{n-1}x+{C}_{n}^{n}.

b) Cho x = 1, ta được:

(1+1)n=C201n+Cn11n−1+Cn21n−2+…+Cnn−11+Cnn{(1+1)}^{n}={\text{C}}_{2}^{0}{1}^{n}+{\text{C}}_{n}^{1}{1}^{n-1}+{\text{C}}_{n}^{2}{1}^{n-2}+\ldots +{\text{C}}_{n}^{n-1}1+{\text{C}}_{n}^{n}

hay 2n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn−1+Cnn.{2}^{n}={\text{C}}_{n}^{0}+{\text{C}}_{n}^{1}+{\text{C}}_{n}^{2}+\ldots +{\text{C}}_{n}^{n-1}+{\text{C}}_{n}^{n}.

Ý nghĩa của đẳng thức này là tổng số tập con của một tập hợp gồm n phần tử là 2n^{n}.

c) Cho x = –1, ta được:

(−1+1)n=Cn0(−1)n+Cn1(−1)n−1+Cn2(−1)n−2+…+Cnn−1(−1)+Cnn{(-1+1)}^{n}={\text{C}}_{n}^{0}{(-1)}^{n}{\text{+C}}_{n}^{1}{(-1)}^{n-1}+{\text{C}}_{n}^{2}{(-1)}^{n-2}+\ldots +{\text{C}}_{n}^{n-1}(-1)+{\text{C}}_{n}^{n}

hay 0=Cn0(−1)n+Cn1(−1)n−1+Cn2(−1)n−2+…+Cnn−1(−1)+Cnn.0={\text{C}}_{n}^{0}{(-1)}^{n}{\text{+C}}_{n}^{1}{(-1)}^{n-1}+{\text{C}}_{n}^{2}{(-1)}^{n-2}+\ldots +{\text{C}}_{n}^{n-1}(-1)+{\text{C}}_{n}^{n}.

Ý nghĩa của đẳng thức này là số tập con có chẵn phần tử và số tập hơp con có lẻ phần tử của một tập hợp gồm n phần tử là bằng nhau.

Câu 9

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) (x – 1)5^{5} = [x + (–1)]5^{5} = x5^{5} + 5x4^{4}(–1) + 10x3^{3}(–1)2^{2} + 10x2^{2}(–1)3^{3} + 5x(–1)4^{4} + (–1)5^{5}

= x5^{5} – 5x4^{4} + 10x3^{3} – 10x2^{2} + 5x – 1.

b) (2x – 3y)4^{4} = [(2x + (–3y)]4^{4}

= (2x)4^{4} + 4(2x)3^{3}(–3y) + 6(2x)2^{2}(–3y)2^{2} + 4(2x)(–3y)3^{3} + (–3y)4^{4}

= 16x4^{4} – 96x3^{3}y + 216x2^{2}y2^{2} – 216xy3^{3} + 81y4^{4}.

Câu 10

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) (x + y)6^{6} =C60x6+C61x5y+C62x4y2+C63x3y3+C64x2y4+C65xy5+C66y6={C}_{6}^{0}{x}^{6}+{C}_{6}^{1}{x}^{5}y+{C}_{6}^{2}{x}^{4}{y}^{2}+{C}_{6}^{3}{x}^{3}{y}^{3}+{C}_{6}^{4}{x}^{2}{y}^{4}+{C}_{6}^{5}x{y}^{5}+{C}_{6}^{6}{y}^{6}

=x6+C61x5y+C62x4y2+C63x3y3+C64x2y4+C65xy5+y6.={x}^{6}+{C}_{6}^{1}{x}^{5}y+{C}_{6}^{2}{x}^{4}{y}^{2}+{C}_{6}^{3}{x}^{3}{y}^{3}+{C}_{6}^{4}{x}^{2}{y}^{4}+{C}_{6}^{5}x{y}^{5}+{y}^{6}.

b) (1 – 2x)5^{5} = [(–2x) + 1]5^{5}

= C50{C}_{5}^{0}(–2x)5^{5} + C51{C}_{5}^{1}(–2x)4^{4}1 + C52{C}_{5}^{2}(–2x)3^{3}12^{2} + C53{C}_{5}^{3}(–2x)2^{2}13^{3} + C54{C}_{5}^{4}(–2x)14^{4} + C55{C}_{5}^{5}15^{5}

= –25^{5}x5^{5} + C51{C}_{5}^{1}24^{4}x4^{4} – C52{C}_{5}^{2}23^{3}x3^{3} + C53{C}_{5}^{3}22^{2}x1^{1} + C54{C}_{5}^{4}2x + 1.

Câu 11

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Số hạng chứa x8^{8} trong khai triển của (2x + 3)10^{10} là

C1010−8(2x)8310−8=C1022832x8=103680x8.{C}_{10}^{10-8}{(2x)}^{8}{3}^{10-8}={C}_{10}^{2}{2}^{8}{3}^{2}{x}^{8}=103680{x}^{8}.

Vậy hệ số của x8^{8} trong khai triển của (2x + 3)10^{10} là 103680.

Câu 12

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Số hạng chứa x2^{2} trong khai triển của (1 – 3x)n^{n} hay [(–3x) +1]n^{n} là

Cnn−2(−3x)21n−2=9Cn2x2.{C}_{n}^{n-2}{(-3x)}^{2}{1}^{n-2}=9{C}_{n}^{2}{x}^{2}.

Vậy hệ số của x2^{2} trong khai triển của (1 – 3x)n^{n} là 9Cn2.9{C}_{n}^{2}.

⇒9Cn2=90⇒Cn2=10⇒n(n−1)2=10⇒n=5.\Rightarrow 9{C}_{n}^{2}=90\Rightarrow {C}_{n}^{2}=10\Rightarrow \frac{n(n-1)}{2}=10\Rightarrow n=5.

Câu 13

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Sử dụng tam giác Pascal, ta có:

(3x – 5)4^{4} = (3x)4^{4} + 4(3x)3^{3}(–5) + 6(3x)2^{2}(–5)2^{2} + 4(3x)(–5)3^{3} + (–5)4^{4}

= 81x4^{4} – 540x3^{3} + 1350x2^{2} – 1500x + 625.

Tổng các hệ số của đa thức này là: 81 – 540 + 1350 – 1500 + 625 = 16.

Câu 14

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

+) Số hạng chứa x4 trong khai triển của (1 – 2x)5 hay [(–2x) +1]5 là

C55−4(−2x)415−4=80x4.{C}_{5}^{5-4}{(-2x)}^{4}{1}^{5-4}=80{x}^{4}.

Vậy hệ số của x4 trong khai triển của (1 – 2x)5 là 80

⇒\Rightarrow hệ số của x5 trong khai triển của x(1 – 2x)5 là 1.80 = 80 (1).

+) Số hạng chứa x3 trong khai triển của (1 + 3x)10 hay [3x +1]10 là

C1010−3(3x)3110−3=3240x3.{C}_{10}^{10-3}{(3x)}^{3}{1}^{10-3}=3240{x}^{3}.

Vậy hệ số của x3 trong khai triển của (1 + 3x)10 là 3240

⇒\Rightarrow hệ số của x5 trong khai triển của x2(1 + 3x)10 là 1.3240 = 3240 (2).

+) Từ (1) và (2) suy ra hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức x(1 – 2x)5 + x2(1 + 3x)10 là 80 + 3240 = 3320.

Câu 15

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

C20210−2C20211+22C20212−23C20213+…−22021C20212021{C}_{2021}^{0}-2{C}_{2021}^{1}+{2}^{2}{C}_{2021}^{2}-{2}^{3}{C}_{2021}^{3}+\ldots -{2}^{2021}{C}_{2021}^{2021}

=C20210+C20211(−2)+C20212(−2)2+C20213(−2)3+…+C20212021(−2)2021={C}_{2021}^{0}+{C}_{2021}^{1}(-2)+{C}_{2021}^{2}{(-2)}^{2}+{C}_{2021}^{3}{(-2)}^{3}+\ldots +{C}_{2021}^{2021}{(-2)}^{2021}

=C2021012021+C2021112020(−2)+C2021212019(−2)2+C2021312018(−2)3+…+C20212021(−2)2021={C}_{2021}^{0}{1}^{2021}+{C}_{2021}^{1}{1}^{2020}(-2)+{C}_{2021}^{2}{1}^{2019}{(-2)}^{2}+{C}_{2021}^{3}{1}^{2018}{(-2)}^{3}+\ldots +{C}_{2021}^{2021}{(-2)}^{2021}

=[1+(−2)]2021=(−1)2021=−1.={[1+(-2)]}^{2021}={(-1)}^{2021}=-1.

Câu 16

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Áp dụng câu c) phần Vận dụng trang 36 ta có:

C2n0−C2n1+C2n2−C2n3+C2n4+…−C2n2n−1+C2n2n=0{C}_{2n}^{0}-{C}_{2n}^{1}+{C}_{2n}^{2}-{C}_{2n}^{3}+{C}_{2n}^{4}+\ldots -{C}_{2n}^{2n-1}+{C}_{2n}^{2n}=0

⇒C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n=C2n1+C2n3+C2n5+…+C2n2n−1.\Rightarrow {C}_{2n}^{0}+{C}_{2n}^{2}+{C}_{2n}^{4}+\ldots +{C}_{2n}^{2n}={C}_{2n}^{1}+{C}_{2n}^{3}+{C}_{2n}^{5}+\ldots +{C}_{2n}^{2n-1}.

Mặt khác, áp dụng câu b) phần Vận dụng trang 36 ta có:

C2n0+C2n1+C2n2+C2n3+C2n4+…+C2n2n−1+C2n2n=22n{C}_{2n}^{0}+{C}_{2n}^{1}+{C}_{2n}^{2}+{C}_{2n}^{3}+{C}_{2n}^{4}+\ldots +{C}_{2n}^{2n-1}+{C}_{2n}^{2n}={2}^{2n}

⇒C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n\Rightarrow {C}_{2n}^{0}+{C}_{2n}^{2}+{C}_{2n}^{4}+\ldots +{C}_{2n}^{2n}

=C2n0+C2n1+C2n2+C2n3+C2n4+…+C2n2n−1+C2n2n2=\frac{{C}_{2n}^{0}+{C}_{2n}^{1}+{C}_{2n}^{2}+{C}_{2n}^{3}+{C}_{2n}^{4}+\ldots +{C}_{2n}^{2n-1}+{C}_{2n}^{2n}}{2}

=22n2=22n−1⇒2n−1=2021⇒n=1011.=\frac{{2}^{2n}}{2}={2}^{2n-1}\Rightarrow 2n-1=2021\Rightarrow n=1011.

Câu 17

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Có:

Cn0+2Cn1+4Cn2+…+2nCnn=Cn0+Cn12+Cn222+…+Cnn2n{C}_{n}^{0}+2{C}_{n}^{1}+4{C}_{n}^{2}+\ldots +{2}^{n}{C}_{n}^{n}={C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}2+{C}_{n}^{2}{2}^{2}+\ldots +{C}_{n}^{n}{2}^{n}

=Cn01n+Cn11n−12+Cn21n−222+…+Cnn2n=(1+2)n=3n={C}_{n}^{0}{1}^{n}+{C}_{n}^{1}{1}^{n-1}2+{C}_{n}^{2}{1}^{n-2}{2}^{2}+\ldots +{C}_{n}^{n}{2}^{n}={(1+2)}^{n}={3}^{n}

⇒3n=243⇒n=5.\Rightarrow {3}^{n}=243\Rightarrow n=5.

Câu 18

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

+) Ta có:

Số hạng chứa xk trong khai triển của (2 + x)100 hay (x +2)100 là

C100100−kxk2100−k=C100k2100−kxk=2100C100k2kxk.{C}_{100}^{100-k}{x}^{k}{2}^{100-k}={C}_{100}^{k}{2}^{100-k}{x}^{k}={2}^{100}\frac{{C}_{100}^{k}}{{2}^{k}}{x}^{k}.

Vậy hệ số của xk trong khai triển của (x + 2)100 là 2100C100k2k⇒ak=2100C100k2k.{2}^{100}\frac{{C}_{100}^{k}}{{2}^{k}}\Rightarrow {a}_{k}={2}^{100}\frac{{C}_{100}^{k}}{{2}^{k}}.

+) Giải bất phương trình: ak ≤ ak + 1 (1).

(1)⇔2100C100k2k≤2100C100k+12k+1⇔C100k2k≤C100k+12k+1⇔C100kC100k+1≤2k2k+1(1)\Leftrightarrow {2}^{100}\frac{{C}_{100}^{k}}{{2}^{k}}\le {2}^{100}\frac{{C}_{100}^{k+1}}{{2}^{k+1}}\Leftrightarrow \frac{{C}_{100}^{k}}{{2}^{k}}\le \frac{{C}_{100}^{k+1}}{{2}^{k+1}}\Leftrightarrow \frac{{C}_{100}^{k}}{{C}_{100}^{k+1}}\le \frac{{2}^{k}}{{2}^{k+1}}

⇔100!k!(100−k)!100!(k+1)!(100−k−1)!≤12⇔(k+1)!(100−k−1)!k!(100−k)!≤12⇔k+1100−k≤12\Leftrightarrow \frac{\frac{100!}{k!(100-k)!}}{\frac{100!}{(k+1)!(100-k-1)!}}\le \frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{(k+1)!(100-k-1)!}{k!(100-k)!}\le \frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{k+1}{100-k}\le \frac{1}{2}

⇔2(k+1)≤100−k⇔3k≤98⇔k≤32\Leftrightarrow 2(k+1)\le 100-k\Leftrightarrow 3k\le 98\Leftrightarrow k\le 32 (vì k là số tự nhiên).

+) Vì ak ≤ ak + 1⇔k≤32\Leftrightarrow k\le 32 nên ak ≥ ak + 1 ⇔k≥32.\Leftrightarrow k\ge 32.

Do đó a1≤a2≤...≤a32≤a33≥a34≥a35≥...≥a100.{a}_{1}\le {a}_{2}\le ...\le {a}_{32}\le {a}_{33}\ge {a}_{34}\ge {a}_{35}\ge ...\ge {a}_{100}.

Ta thấy dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị nào của k.

Do đó a33 là giá trị lớn nhất trong các ak.