Bài tập Cuối chuyên đề 2 có đáp án

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 2.21 = 4 = 1.21 + 1.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (k + 1).2k = k.2k + 1.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (k + 1).2k + [(k + 1) + 1].2k + 1 = (k + 1)2(k + 1) + 1.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (k + 1).2k + [(k + 1) + 1].2k + 1

= k.2k + 1 + [(k + 1) + 1].2k + 1

= (2k + 2).2k + 1

= (k + 1).2.2k + 1

= (k + 1)2k + 2

= (k + 1).2(k + 1) + 1.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

a) ${S}_{1}=\frac{1}{1.3}=\frac{1}{3},{S}_{2}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}=\frac{2}{5},\ {S}_{3}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}=\frac{3}{7}.$

b) Từ a) ta có thể dự đoán ${S}_{n}=\frac{n}{2n+1}.$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có ${S}_{1}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2.1+1}.$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: ${S}_{k}=\frac{k}{2k+1}.$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: ${S}_{k+1}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}.$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

${S}_{k+1}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\ldots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$

$={S}_{k}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{2{k}^{2}+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}.$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 0 ta có 102.0 + 1 + 1 = 11 ⁝ 11.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 0.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 102k + 1 + 1 chia hết cho 11.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 102(k + 1) + 1 + 1 chia hết cho 11.

Thật vậy, ta có:

102(k + 1) + 1 + 1

= 10(2k + 1) + 2 + 1

= 100.102k + 1 + 1

= 100.102k + 1 + 100 – 100 + 1

= 100(102k + 1 + 1) – 100 + 1

= 100(102k + 1 + 1) – 99.

Vì 102k + 1 + 1 và 99 đều chia hết cho 11 nên 100(102k + 1 + 1) – 99 chia hết cho 11. Do đó 102(k + 1) + 1 + 1 chia hết cho 11.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 2 ta có 52 = 25 = 32 + 42.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 2.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 5k ≥ 3k + 4k.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 5k + 1 ≥ 3k + 1 + 4k + 1.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

5k + 1 = 5.5k ≥ 5(3k + 4k) = 5. 3k + 5.4k ≥ 3. 3k + 4.4k = 3k + 1 + 4k + 1.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

a) ${(1+x)}^{10}={C}_{10}^{0}{1}^{10}+{C}_{10}^{1}{1}^{9}x+{C}_{10}^{2}{1}^{8}{x}^{2}+...+{C}_{10}^{9}1{x}^{9}+{C}_{10}^{10}{x}^{10}$

$=1+{C}_{10}^{1}x+{C}_{10}^{2}{x}^{2}+...+{C}_{10}^{9}{x}^{9}+{x}^{10}.$

b) Áp dụng câu a) ta có:

${(1{,}1)}^{10}={(1+0{,}1)}^{10}$

$=1+{C}_{10}^{1}.0{,}1+{C}_{10}^{2}{(0{,}1)}^{2}+...+{C}_{10}^{9}{(0{,}1)}^{9}+{(0{,}1)}^{10}>1+{C}_{10}^{1}.0{,}1=2.$