Bài tập Phương pháp quy nạp toán học có đáp án

Ta thấy vế trái của các đẳng thức lần lượt là tổng của 1, 2, 3, 4, 5, ... số lẻ đầu tiên. Còn vế phải lần lượt là bình phương của 1, 2, 3, 4, 5,...

Vậy ta có thể dự đoán 1 + 3 + 5 + ... + (2n –1) = n2.

a) p(1) = 41, p(2) = 43, p(3) = 47, p(4) = 53, p(5) = 61. Do đó p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) đều là các số nguyên tố.

b) Từ việc p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) đều là các số nguyên tố ta có thể đưa ra dự đoán p(n) là số nguyên tố với mọi n > 1. Tuy nhiên, khẳng định này là một khẳng định sai. Mặc dù khẳng định này đúng với n = 1, 2,..., 40, nhưng nó lại sai khi n= 41. Thật vậy, với n= 41 ta có p(41) = 412 là hợp số (vì nó chia hết cho 41).

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 1 = 12.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

$1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}.$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

$1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}.$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

$1+2+3+...+k+(k+1)$
$=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}.$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bước 1. Khi n = 1, ta có: a$^{1}$ – b$^{1}$ = a – b.

Vậy khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

a$^{k}$ – b$^{k}$ = (a – b)(a$^{k – 1}$ + a$^{k – 2}$b + ... + ab$^{k –2}$ + b$^{k – 1}$)

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

a$^{k + 1}$ – b$^{k + 1}$ = (a – b)[a$^{(k + 1) – 1}$ + a$^{(k + 1) – 2}$b + ... + ab$^{(k + 1) –2}$ + b$^{(k + 1) – 1}$]

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

a$^{k + 1}$ – b$^{k + 1}$

= a . a$^{k}$ – b . b$^{k}$

= a . a$^{k}$ – a . b$^{k}$ + a . b$^{k}$ – b . b$^{k}$

= a . (a$^{k}$ – b$^{k}$) + b$^{k}$ . (a – b)

= a . (a – b)(a$^{k – 1}$ + a$^{k – 2}$b + ... + ab$^{k –2}$ + b$^{k – 1}$) + b$^{k}$ . (a – b)

= (a – b) . a . (a$^{k – 1}$ + a$^{k – 2}$b + ... + ab$^{k –2}$ + b$^{k – 1}$) + (a – b) . b$^{k}$

= (a – b)(a . a$^{k – 1}$ + a . a$^{k –}$$^{2}$b + ... + a . ab$^{k – 2}$ + a . b$^{k – 1}$) + (a – b) . b$^{k}$

= (a – b)[a$^{1 + (k – 1)}$ + a$^{1 + (k – 2)}$b + ... + a$^{2}$b$^{k – 2}$ + a . b$^{k – 1}$) + (a – b) . b$^{k}$

= (a – b)[a$^{(k + 1) – 1}$ + a$^{(k + 1) – 2}$b + ... + a$^{2}$b$^{(k + 1) – 3}$ + ab$^{(k + 1) –2}$] + (a – b) . b$^{(k + 1) – 1}$

= (a – b)[a$^{(k + 1) – 1}$ + a$^{(k + 1) – 2}$b + ... + ab$^{(k + 1) –2}$ + b$^{(k + 1) – 1}$].

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

a)

– Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T$_{1}$ mà người đó nhận được sau kì thứ 1 là:

T$_{1}$ = A + Ar = A(1 + r).

– Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T$_{2}$ mà người đó nhận được sau kì thứ 2 là:

T$_{2}$ = A(1 + r) + A(1 + r)r = A(1 + r)(1 + r) = A(1 + r)$^{2}$.

– Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T$_{3}$ mà người đó nhận được sau kì thứ 3 là:

T$_{3}$ = A(1 + r)$^{2}$ + A(1 + r)$^{2}$r = A(1 + r)$^{3}$.

b) Từ câu a) ta có thể dự đoán T$_{n}$ = A(1 + r)$^{n}$.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có T$_{1}$ = A(1 + r) = A(1 + r)$^{1}$.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: T$_{k}$ = A(1 + r)$^{k}$.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: T$_{k + 1}$ = A(1 + r)$^{k + 1}$.

Thật vậy,

Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T$_{k + 1}$ mà người đó nhận được sau kì thứ (k + 1) là:

T$_{k + 1}$ = A(1 + r)$^{k}$ + A(1 + r)$^{k}$.r = A(1 + r)$^{k}$(1 + r) = A(1 + r)$^{k + 1}$.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Vậy T$_{n}$ = A(1 + r)$^{n}$ với mọi số tự nhiên n ≥ 1.