Bài tập Giải một số phương trình lượng giác đưa về phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Dạng tổng quát của phương trình bậc nhất với sinx và cosx là:

asinx + bcosx = c.

Từ đó suy ra phương trình sinx + 2cosx = 2 là phương trình bậc nhất với sinx và cosx.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

cos$^{2}$x – 3cosx + 2 = 0

Đặt t = cosx (–1 ≤ t ≤ 1)

Phương trình trở thành:

t$^{2}$ – 3t + 2 = 0 ⇔ $[\begin{matrix}t=1 \\ t=2\end{matrix}$.

Với t = 1, ta có: cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ ℤ

Với t = 2, phương trình vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\{k2π|k\in ℤ\}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

cos2x – sinx + 2 = 0

⇔ 1 – 2sin$^{2}$x – sinx + 2 = 0

⇔ 2sin$^{2}$x + sin x – 3 = 0

⇔ $[\begin{matrix}\sin x=1\ (TM) \\ \sin x=\frac{-3}{2}\ (KTM)\end{matrix}$

Với sinx = 1 ⇔ x = $\frac{π}{2}+k2π$, k ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Thay x = $\frac{π}{4}$ vào phương trình 3tan$^{2}$x – 4tanx + 1 = 0 ta có:

$3{\tan }^{2}(\frac{π}{4})-4\tan (\frac{π}{4})+1=0$ (thỏa mãn)

Do đó, x = $\frac{π}{4}$ là một nghiệm của phương trình 3tan$^{2}$x – 4tanx + 1 = 0.

Đáp án đúng là: C

sin3x + cos3x = 1

⇔ $\frac{1}{{\sqrt {1 + 1} }}\sin 3x + \frac{1}{{\sqrt {1 + 1} }}\cos 3x = \frac{1}{{\sqrt {1 + 1} }}$

⇔ $\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 3x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

⇔ $\cos \frac{\pi }{4}.\sin 3x + \sin \frac{\pi }{4}.\cos 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

⇔ $\sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

⇔ $\sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}$

⇔ $\left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.$ , k ∈ ℤ

⇔ $\left[ \begin{array}{l}3x = k2\pi \\3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$ , k ∈ ℤ

⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = k\frac{2}{3}\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\frac{2}{3}\pi \end{array} \right.$ , k ∈ ℤ.

Đáp án đúng là: B

sinx – $\sqrt 3$cosx = 1

⇔ $\frac{1}{{\sqrt {1 + 3} }}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {1 + 3} }}\cos x = \frac{1}{{\sqrt {1 + 3} }}$

⇔ $\frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}$

⇔ $\cos \frac{\pi }{3}.\sin x - \sin \frac{\pi }{3}.\cos x = \frac{1}{2}$

⇔ $\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$

⇔ $\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}$

⇔ $\left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$, k ∈ ℤ

⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$, k ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Thay x = $\frac{π}{8}$ vào phương trình, ta có:

sin $(2.\frac{π}{8})$ + cos $(2.\frac{π}{8})$ = $\sqrt{2}$ (thỏa mãn).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

sin$^{2}$x – $(\sqrt{3}+1)$sinx.cosx + $\sqrt{3}$ cos$^{2}$x = 0 (1)

Xét cosx = 0

Phương trình (1) trở thành: sin$^{2}$x = 0 ⇔ sinx = 0 (sin$^{2}$x + cos$^{2}$x = 0 ≠ 1 nên vô lý).

Xét cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của (1) cho cos$^{2}$x ta được:

(1) ⇔ tan$^{2}$x – $(\sqrt{3}+1)$ tanx + $\sqrt{3}$ = 0

⇔$[\begin{matrix}\tan x=\sqrt{3} \\ \tan x=1\end{matrix}$

⇔$[\begin{matrix}x=\frac{π}{3}+kπ \\ x=\frac{π}{4}+kπ\end{matrix}$, k ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

cos$^{3}$x – 4sin$^{3}$x – 3cosx.sin$^{2}$x + sinx = 0 (1)

Xét cos x = 0, ta có:

(1) ⇔ – 4sin$^{3}$x + sinx = 0

⇔ sinx(– 4sin$^{2}$x + 1) = 0

⇔ sinx(– 2sinx + 1)(1 + 2sinx) = 0

⇔ $[\begin{matrix}\sin x=0 \\ \sin x=\frac{1}{2} \\ \sin x=-\frac{1}{2}\end{matrix}$ (cả ba đều KTM vì sin$^{2}$x + cos$^{2}$x ≠ 1).

Xét cosx ≠ 0 , ta chia cả hai vế của (1) cho cos$^{3}$x ta được:

1 – 4tan$^{3}$x – 3tan$^{2}$x + tanx(1 + tan$^{2}$x) = 0

⇔ 3tan$^{3}$x + 3tan$^{2}$x – tanx – 1 = 0

⇔ (tanx + 1)(3tan$^{2}$ x – 1) = 0

⇔ $[\begin{matrix}\tan x=-1 \\ \tan x=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=-\frac{π}{4}+kπ \\ x=\frac{π}{6}+kπ \\ x=-\frac{π}{6}+kπ\end{matrix}$ , k ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

sin$^{2}$x – sin$^{2}$x.cos$^{2}$x = 1

⇔ sin$^{2}$x(1 – cos$^{2}$x) = 1

⇔ sin$^{2}$x.sin$^{2}$x = 1

⇔ sin$^{4}$x = 1

⇔ $[\begin{matrix}\sin x=1 \\ \sin x=-1\end{matrix}$

⇔ $[\begin{matrix}x=\frac{π}{2}+k2π \\ x=-\frac{π}{2}+k2π\end{matrix}$, k ∈ ℤ.

Đáp án đúng là: C

$\cos 2x - \sin 2x = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Với k = 1 ta được $\left[ \begin{array}{l}x = \pi \\x = \frac{{3\pi }}{4}\end{array} \right.$ . Vậy x = $\frac{{3\pi }}{4}$ là nghiệm của phương trình S.

Đáp án đúng là: B

$\cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x + \sqrt 3 \sin x - \cos x = 2$

$\Leftrightarrow 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 2$

$\Leftrightarrow 2\left[ {1 - 2{{\sin }^2}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right] + 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 2$

$\Leftrightarrow - 4{\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{6} = k\pi \\x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.$.

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất cuả phương trình là x$_{0}$ = $\frac{\pi }{6}$ với k = 1.

Đáp án đúng là: D

$\left( {m + 1} \right){\sin ^2}x - \sin 2x + \cos 2x = 0$

$\Leftrightarrow \left( {m + 1} \right) \cdot \frac{{1 - \cos 2x}}{2} - \sin 2x + \cos 2x = 0$

$\Leftrightarrow m + 1 - m\cos 2x - \cos 2x - 2\sin 2x + 2\cos 2x = 0$

$\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\cos 2x + 2\sin 2x = m + 1$

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ${\left( {m - 1} \right)^2} + {2^2} \ge {\left( {m + 1} \right)^2} \Leftrightarrow 4m \le 4 \Leftrightarrow m \le 1$

Kết hợp $\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 2018;2018} \right]\end{array} \right.$ => có 2020 giá trị của tham số m.

Đáp án đúng là: A

Ta có: 8cos2xsin2xcos4x = -$\sqrt 2$ ⇔ 4sin4xcos4x = -$\sqrt 2$ ⇔ 2sin8x = -$\sqrt 2$

⇔ sin8x = $- \frac{{\sqrt 2 }}{2}$⇔ $\sin 8x = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{32}} + k\frac{\pi }{4}\\x = \frac{{5\pi }}{{32}} + k\frac{\pi }{4}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

$\sin \left( {\pi - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin x - \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \sin x$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + k2\pi \\2x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: $\sqrt 3 \sin x - \cos x = \sqrt 2$ ⇔ $\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$\Leftrightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{6} - \cos x\sin \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}$.

b) Sai. (*) ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{6} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Xét họ nghiệm $x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi$:

$0 < \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{5}{{24}} < k < \frac{7}{{24}},k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow {x_1} = \frac{{5\pi }}{{12}}$(thỏa mãn).

Xét họ nghiệm $x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi$:

$0 < \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{{11}}{{24}} < k < \frac{1}{{24}},k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{{11\pi }}{{12}}$(thỏa mãn)

c) Sai. Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng (0; π) là: $\frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{11\pi }}{{12}} = \frac{{4\pi }}{3}$

d) Đúng. Trong khoảng (0; π) phương trình (*) có nghiệm lớn nhất bằng $\frac{{11\pi }}{{12}}$.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. $3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)$

$\Leftrightarrow 3 \cdot \frac{{\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)}} = \sqrt 3$

$\Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

$\Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \tan \frac{\pi }{6}$

$\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$

b) Sai. Nghiệm âm lớn nhất là nghiệm thỏa mãn - < x < 0.

Ta có: $\frac{{5\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}$< 0 $\Leftrightarrow \frac{5}{{24}} + \frac{k}{2} < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{5}{{12}}$.

Do k ∈ ℤ, nên k = -1. Suy ra $x = \frac{{5\pi }}{{24}} - \frac{\pi }{2} = - \frac{{7\pi }}{{24}}$.

Vậy nghiệm âm lớn nhất là $- \frac{{7\pi }}{{24}}$.

c) Đúng. Xét $\frac{{ - \pi }}{4} < x < \frac{{5\pi }}{4}$.

Ta có: $- \frac{\pi }{4} < \frac{{5\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2} < \frac{{5\pi }}{4} \Leftrightarrow - \frac{{11\pi }}{{24}} < \frac{{k\pi }}{2} < \frac{{25\pi }}{{24}} \Leftrightarrow \frac{{ - 11}}{{12}} < k < \frac{{25}}{{12}}$.

Do k ∈ ℤ, nên k = 0; 1; 2 => $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{5\pi }}{{24}}\\{x_2} = \frac{{5\pi }}{{24}} + \frac{\pi }{2} = \frac{{17\pi }}{{24}}\\{x_3} = \frac{{5\pi }}{{24}} + \pi = \frac{{29\pi }}{{24}}\end{array} \right.$.

Vậy khi $\frac{{ - \pi }}{4} < x < \frac{{5\pi }}{4}$ thì phương trình có đúng ba nghiệm.

d) Sai. Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( {\frac{{ - \pi }}{4};\frac{{5\pi }}{4}} \right)$ là: $\frac{{5\pi + 17\pi + 29\pi }}{{24}} = \frac{{17\pi }}{8}$.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. $\sin 2x - \sqrt 3 \left( {1 + \cos 2x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \sqrt 3 \left( {2{{\cos }^2}x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 2\sin x\cos x - 2\sqrt 3 {\cos ^2}x = 0$

$\Leftrightarrow 2\cos x\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\cos x = 0\\\sin x - \sqrt 3 \cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\sqrt 3 \cos x = \sin x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\sqrt 3 \cdot \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

b) Sai. Phương trình có nghiệm là $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

c) Sai. Cho k = -1 => $\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{2}\\x = - \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.$. So sánh: $- \frac{\pi }{2} > - \frac{{2\pi }}{3}$.

Do đó, nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $- \frac{\pi }{2}$.

d) Đúng.

Xét họ nghiệm: $x = \frac{\pi }{2} + k\pi$.

$- \pi < \frac{\pi }{2} + k\pi < \pi \Leftrightarrow \frac{{ - 3\pi }}{2} < k\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{2} < k < \frac{1}{2}$.

Do k ∈ ℤ nên k = -1; 0 => $x = - \frac{\pi }{2};x = \frac{\pi }{2}$.

Xét họ nghiệm: $x = \frac{\pi }{3} + k\pi$.

$- \pi < \frac{\pi }{3} + k\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{{4\pi }}{3} < k\pi < \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow - \frac{4}{3} < k < \frac{2}{3}$.

Do k ∈ ℤ nên k = -1; 0 => $x = - \frac{{2\pi }}{3};x = \frac{\pi }{3}$.

Vậy số nghiệm của phương trình trong khoảng (-π; π) là 4 nghiệm.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. $3 - 4{\sin ^2}\left( {15^\circ - x} \right) = 0 \Leftrightarrow 1 + 2\left[ {1 - 2{{\sin }^2}\left( {15^\circ - x} \right)} \right] = 0$

$\Leftrightarrow 1 + 2\cos \left( {30^\circ - 2x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \cos \left( {30^\circ - 2x} \right) = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \left( {30^\circ - 2x} \right) = \sin \left( { - 30^\circ } \right)$

$\Leftrightarrow \sin \left[ {90^\circ - \left( {30^\circ - 2x} \right)} \right] = \sin \left( { - 30^\circ } \right)$

$\Leftrightarrow \sin \left( {60^\circ + 2x} \right) = \sin \left( { - 30^\circ } \right)$.

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}60^\circ + 2x = - 30^\circ + k360^\circ \\60^\circ + 2x = 180^\circ - \left( { - 30^\circ } \right) + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 45^\circ + k180^\circ \\x = 75^\circ + k180^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) Đúng. Đồ thị cắt trục hoành khi và chỉ khi y = 0.

Suy ra $3 - 4{\sin ^2}\left( {15^\circ - x} \right) = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}\left( {15^\circ - x} \right) = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sin \left( {15^\circ - x} \right) = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Với x = -45°, ta có: 15° - x = 15° - (-45°) = 60°.

Do đó $\sin \left( {15^\circ - x} \right) = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Suy ra ${\sin ^2}\left( {15^\circ - x} \right) = \frac{3}{4}$. Do đó $y = 3 - 4 \cdot \frac{3}{4} = 0$

Vậy đồ thị hàm số $y = 3 - 4{\sin ^2}\left( {15^\circ - x} \right)$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = -45°.

Vậy đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -45°.

c) Sai. phương trình $\Leftrightarrow \sin \left( {60^\circ + 2x} \right) = \sin \left( { - 30^\circ } \right)$.

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}60^\circ + 2x = - 30^\circ + k360^\circ \\60^\circ + 2x = 180^\circ - \left( { - 30^\circ } \right) + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 45^\circ + k180^\circ \\x = 75^\circ + k180^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

d) Đúng. Xét họ nghiệm $x = - 45^\circ + k180^\circ$

Ta có: $- 90^\circ < - 45^\circ + k180^\circ < 90^\circ \Leftrightarrow - 45^\circ < k180^\circ < 135^\circ$

=> x = -45°.

Xét họ nghiệm $x = 75^\circ + k180^\circ$

Ta có: $- 90^\circ < 75^\circ + k180^\circ < 90^\circ \Leftrightarrow - 165^\circ < k180^\circ < 15^\circ \Leftrightarrow \frac{{ - 11}}{{12}} < k < \frac{1}{{12}}$.

Vậy trong khoảng $\left( { - 90^\circ ;90^\circ } \right)$, phương tình có đúng hai nghiệm.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Thay $x = \frac{{3\pi }}{4}$ vào $2{\cos ^2}x - 1$ ta được:

$2{\cos ^2}\frac{{3\pi }}{4} - 1 = 2{\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0$.

Suy ra $\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\left( {2\cos x - m} \right) = 0$. Do đó $x = \frac{{3\pi }}{4}$ luôn là nghiệm của phương tình với mọi m.

b) Sai. Khi m = 1, phương trình trở thành: $\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) = 0$

Trường hợp 1: $2{\cos ^2}x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}$.

Trường hợp 2: 2cosx - 1 = 0 ⇔ cosx = $\frac{1}{2}$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Khi m = 1, phương trình có nghiệm là $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$.

c) Sai. Khi m = -1, phương trình trở thành $\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\left( {2\cos x + 1} \right) = 0$

Trường hợp 1: 2cos$^{2}$x - 1 = 0 ⇔ $\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}$

Trên đường tròn lượng giác, ta được các điểm:

k = 0 => $x = \frac{\pi }{4}$; k = 1 => $x = \frac{{3\pi }}{4}$; k = 2 => x = $\frac{{5\pi }}{4}$; k = 3 => $x = \frac{{7\pi }}{4}$.

Vậy có 4 điểm điểm biểu diễn là $\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4};\frac{{5\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}$

Trường hợp 2: $2\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.$

Kết hợp cả 2 trường hợp trên thì có 6 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.

d) Sai. Để phương trình có đúng 3 nghiệm trên khoảng [0; 2π).

Từ (1) ta có: $\left[ \begin{array}{l}2{\cos ^2}x - 1 = 0\\2\cos x - m = 0\end{array} \right.$

Xét $2{\cos ^2}x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}$

Trên khoảng [0; 2π), ta luôn có 4 nghiệm $x = \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4};\frac{{5\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}$.

Xét $2\cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{m}{2}$ (*)

Trường hợp 1: |m| > 2. Khi đó: $\left| {\frac{m}{2}} \right| > 1$. Mà $- 1 \le \cos x \le 1$ nên phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: m = 2, phương trình (*) trở thành: $\cos x = 1 \Rightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Trên khoảng [0; 2π), cho k = 0 => x = 0.

Vậy m = 2 có 1 nghiệm.

Trường hợp 3: m = -2, phương trình (*) trở thành $\cos x = - 1 \Rightarrow x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Trên khoảng [0; 2π), cho k = 0 => x = π.

Vậy m = -2 có đúng 1 nghiệm duy nhất.

Trường hợp 4: -2 < m < 2. Khi đó $- 1 < \frac{m}{2} < 1$

Đặt $\alpha = \arccos \left( {\frac{m}{2}} \right)$ thì $0 < \alpha < \pi$.

Khi đó phương trình $\cos x = \frac{m}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$.

Do đó -2 < m < 2 có 2 nghiệm.

Vậy phương trình (*) có tổng 5 nghiệm phân biệt.

Do đó, không tồn tại giá trị nào của m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc $\left[ {0;2\pi } \right)$.

Đáp án: 7.

$4{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin 2x - 2{\cos ^2}x = 4$

$\Leftrightarrow 4{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin 2x - 2{\cos ^2}x = 4\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$

$\Leftrightarrow 3\sqrt 3 \sin 2x - 6{\cos ^2}x = 0$

$\Leftrightarrow 6\cos x\left( {\sqrt 3 \sin x - \cos x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\tan x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.$.

Có

So sánh $\frac{\pi }{2} > \frac{\pi }{6}$ nên ta được $x = \frac{\pi }{6}$ là nghiệm dương nhỏ nhất.

Do đó, a = 1, b = 6 => T = a(a + b) = 1(1 + 6) = 7.

Đáp án: 18.

Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$. Vì $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$

Ta có: ${t^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$

Khi đó, phương trình đã cho trở thành $\frac{{{t^2} - 1}}{2} + 2t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 5\end{array} \right.$

Với t = 1, ta được $\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$.

Xét họ nghiệm $x = k2\pi$

.

Xét họ nghiệm $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình nằm trong khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};3\pi } \right)$ là: $2\pi + \frac{{5\pi }}{2} = \frac{{9\pi }}{2}$.

Do đó $\frac{a}{b} = \frac{9}{2}$. Suy ra ab = 18.

Đáp án: 0,71.

Ta có: $\left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = 2 \Leftrightarrow 1 + \sin x + \cos x + \sin x\cos x = 2$

$\Leftrightarrow \sin x + \cos x + \sin x\cos x = 1$

$\Leftrightarrow 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2\sin x\cos x = 2$ (*)

Đặt $t = \sin x + \cos x\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \to \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$.

Khi đó phương trình trở thành $2t + {t^2} - 1 = 2$

$\Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 3\end{array} \right. \Rightarrow \sin x + \cos x = 1$

Ta có $\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos x \cdot \cos \frac{\pi }{4} + \sin x \cdot \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos x + \sin x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \approx 0{,}71$

Đáp án: 4.

$\left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 3 = 0$

$\Leftrightarrow - \cos 2x\left( {2\cos 2x + 5} \right) + 3 = 0$

$\Leftrightarrow - 2{\cos ^2}2x - 5\cos 2x + 3 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = \frac{1}{2}\\\cos 2x = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.$

mà $x \in \left( {0;2\pi } \right) \Rightarrow x = \left\{ {\left. {\frac{\pi }{6};\frac{{7\pi }}{6};\frac{{5\pi }}{6};\frac{{11\pi }}{6}} \right\}} \right.$. Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;2\pi } \right)$.

Đáp án: 16.

$\tan x + m\cot x = 8 \Leftrightarrow \tan x + \frac{m}{{\tan x}} = 8 \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 8\tan x + m = 0$

Đặt $t = \tan x \Rightarrow t \in \mathbb{R}$ suy ra t$^{2}$ - 8t + m = 0.

Để phương trình có nghiệm

Vậy có 16 giá trị của m để phương trình có nghiệm.