Bài tập Cuối chuyên đề 2 có đáp án

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 2.21 = 4 = 1.21 + 1.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (k + 1).2k = k.2k + 1.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (k + 1).2k + [(k + 1) + 1].2k + 1 = (k + 1)2(k + 1) + 1.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (k + 1).2k + [(k + 1) + 1].2k + 1

= k.2k + 1 + [(k + 1) + 1].2k + 1

= (2k + 2).2k + 1

= (k + 1).2.2k + 1

= (k + 1)2k + 2

= (k + 1).2(k + 1) + 1.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

a) ${S}_{1}=\frac{1}{1.3}=\frac{1}{3},{S}_{2}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}=\frac{2}{5},\ {S}_{3}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}=\frac{3}{7}.$

b) Từ a) ta có thể dự đoán ${S}_{n}=\frac{n}{2n+1}.$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có ${S}_{1}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2.1+1}.$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: ${S}_{k}=\frac{k}{2k+1}.$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: ${S}_{k+1}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}.$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

${S}_{k+1}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\ldots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$

$={S}_{k}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{2{k}^{2}+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}.$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 0 ta có 102.0 + 1 + 1 = 11 ⁝ 11.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 0.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 102k + 1 + 1 chia hết cho 11.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 102(k + 1) + 1 + 1 chia hết cho 11.

Thật vậy, ta có:

102(k + 1) + 1 + 1

= 10(2k + 1) + 2 + 1

= 100.102k + 1 + 1

= 100.102k + 1 + 100 – 100 + 1

= 100(102k + 1 + 1) – 100 + 1

= 100(102k + 1 + 1) – 99.

Vì 102k + 1 + 1 và 99 đều chia hết cho 11 nên 100(102k + 1 + 1) – 99 chia hết cho 11. Do đó 102(k + 1) + 1 + 1 chia hết cho 11.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 2 ta có 52 = 25 = 32 + 42.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 2.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 5k ≥ 3k + 4k.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 5k + 1 ≥ 3k + 1 + 4k + 1.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

5k + 1 = 5.5k ≥ 5(3k + 4k) = 5. 3k + 5.4k ≥ 3. 3k + 4.4k = 3k + 1 + 4k + 1.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

a) ${(1+x)}^{10}={C}_{10}^{0}{1}^{10}+{C}_{10}^{1}{1}^{9}x+{C}_{10}^{2}{1}^{8}{x}^{2}+...+{C}_{10}^{9}1{x}^{9}+{C}_{10}^{10}{x}^{10}$

$=1+{C}_{10}^{1}x+{C}_{10}^{2}{x}^{2}+...+{C}_{10}^{9}{x}^{9}+{x}^{10}.$

b) Áp dụng câu a) ta có:

${(1{,}1)}^{10}={(1+0{,}1)}^{10}$

$=1+{C}_{10}^{1}.0{,}1+{C}_{10}^{2}{(0{,}1)}^{2}+...+{C}_{10}^{9}{(0{,}1)}^{9}+{(0{,}1)}^{10}>1+{C}_{10}^{1}.0{,}1=2.$

Số hạng chứa x9 trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)11 là ${C}_{11}^{11-9}{(2x)}^{9}{(-3)}^{11-9}={C}_{11}^{2}{2}^{9}{x}^{9}{(-3)}^{2}={C}_{11}^{2}{2}^{9}{3}^{2}{x}^{9}=253440{x}^{9}.$

Vậy hệ số của x9 trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)11 là 253440.

Số hạng chứa xk trong khai triển thành đa thức của (1 + 2x)12 hay (2x + 1)12 là ${C}_{12}^{12-k}{(2x)}^{k}{1}^{12-k}={C}_{12}^{k}{2}^{k}{x}^{k}.$

Do đó ${a}_{k}={C}_{12}^{k}{2}^{k}.$

Thay các giá trị của k từ 0 đến 12 vào ak ta thấy a8 có giá trị lớn nhất và bằng 126720.

Xét:

$M={C}_{2n}^{0}+{C}_{2n}^{1}+{C}_{2n}^{2}+\ldots +{C}_{2n}^{2n-1}+{C}_{2n}^{2n}$;

$N={C}_{2n}^{0}-{C}_{2n}^{1}+{C}_{2n}^{2}-\ldots -{C}_{2n}^{2n-1}+{C}_{2n}^{2n}$;

$P={\text{C}}_{2n}^{0}+{\text{C}}_{2n}^{2}+{\text{C}}_{2n}^{4}+\ldots +{\text{C}}_{2n}^{2n-2}+{\text{C}}_{2n}^{2n}$;

$Q={C}_{2n}^{1}+{C}_{2n}^{3}+{C}_{2n}^{5}+\ldots +{C}_{2n}^{2n-3}+{C}_{2n}^{2n-1}.$

+) Ta có:

${(x+1)}^{2n}={C}_{2n}^{0}{x}^{2n}+{C}_{2n}^{1}{x}^{2n-1}1+{C}_{2n}^{2}{x}^{2n-2}{1}^{2}+\ldots +{C}_{2n}^{2n-1}x{1}^{2n-1}+{C}_{2n}^{2n}{1}^{2n}$

$={C}_{2n}^{0}{x}^{2n}+{C}_{2n}^{1}{x}^{2n-1}+{C}_{2n}^{2}{x}^{2n-2}+\ldots +{C}_{2n}^{2n-1}x+{C}_{2n}^{2n}.$

Cho x = 1, ta được:

${(1+1)}^{2n}={\text{C}}_{2n}^{0}{1}^{2n}+{\text{C}}_{2n}^{1}{1}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2}{1}^{2n-2}+\ldots +{\text{C}}_{2n}^{2n-1}1+{\text{C}}_{2n}^{2n}$

$={\text{C}}_{2n}^{0}+{\text{C}}_{2n}^{1}+{\text{C}}_{2n}^{2}+\ldots +{\text{C}}_{2n}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2n}.$

Vậy $M={(1+1)}^{2n}={2}^{2n}$.

+) Ta có:

${(x-1)}^{2n}={\text{C}}_{2n}^{0}{x}^{2n}-{\text{C}}_{2n}^{1}{x}^{2n-1}1+{\text{C}}_{2n}^{2}{x}^{2n-2}{1}^{2}-\ldots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}x{1}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2n}{1}^{2n}$

$={\text{C}}_{2n}^{0}{x}^{2n}-{\text{C}}_{2n}^{1}{x}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2}{x}^{2n-2}-\ldots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}x+{\text{C}}_{2n}^{2n}.$

Cho x = 1, ta được:

${(1-1)}^{2n}={\text{C}}_{2n}^{0}{1}^{2n}-{\text{C}}_{2n}^{1}{1}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2}{1}^{2n-2}-\ldots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}1+{\text{C}}_{2n}^{2n}$

$={\text{C}}_{2n}^{0}-{\text{C}}_{2n}^{1}+{\text{C}}_{2n}^{2}-\ldots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2n}.$

Vậy $N={(1-1)}^{2n}=0$

Ta có: $P+Q=M={2}^{2n}$ và $P-Q=N=0$ nên $P=Q={2}^{2n}:2={2}^{2n-1}$.

Áp dụng: ${C}_{2n}^{1}+{C}_{2n}^{3}+\ldots +{C}_{2n}^{2n-1}=2048\Rightarrow {2}^{2n-1}=2048\Rightarrow 2n-1=11\Rightarrow n=6.$

+) Ta có:

${C}_{n}^{k}\le {C}_{n}^{k+1}\Leftrightarrow \frac{n!}{k!(n-k)!}\le \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}$

$\Leftrightarrow (k+1)!(n-k-1)!\le k!(n-k)!$

$\Leftrightarrow k+1\le n-k\Leftrightarrow 2k\le n-1$ (*).

– Nếu n lẻ thì $(*)\Leftrightarrow k\le \frac{n-1}{2}.$ Từ đây ta có ${C}_{n}^{k}\ge {C}_{n}^{k+1}\Leftrightarrow k\ge \frac{n-1}{2}.$

$\Rightarrow {C}_{n}^{0}\le {C}_{n}^{1}\le ...\le {C}_{n}^{\frac{n-1}{2}}\le {C}_{n}^{\frac{n+1}{2}}\le ...\le {C}_{n}^{n}.$

Dấu "=" chỉ xảy ra khi $k=\frac{n-1}{2}.$

Do đó có hai số có giá trị lớn nhất là ${C}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$ và ${C}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$.

– Nếu n chẵn thì $(*)\Leftrightarrow k\le [\frac{n-1}{2}]=\frac{n}{2}-1.$ Từ đây ta có ${C}_{n}^{k}\ge {C}_{n}^{k+1}\Leftrightarrow k\ge \frac{n}{2}-1.$

$\Rightarrow {C}_{n}^{0}\le {C}_{n}^{1}\le ...\le {C}_{n}^{\frac{n}{2}}\le ...\le {C}_{n}^{n}.$

Dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị k nào.

Do đó chỉ có đúng một số có giá trị lớn nhất là ${C}_{n}^{\frac{n}{2}}$.

+) Áp dụng:

Tổng các hệ số của khai triển (a + b)n bằng 4096

$\Rightarrow {C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}+\ldots +{C}_{n}^{n}=4096\Rightarrow {2}^{n}=4096\Rightarrow n=12$

$\Rightarrow$ Hệ số lớn nhất của khai triển là ${C}_{12}^{6}=924.$