Bài tập cuối chương III có đáp án

Gọi a và b lần lượt là hai đường thẳng đi qua A và vuông góc với d.

Do a và b cùng vuông góc với d nên a // b hoặc a trùng b.

Mà a và b cắt nhau tại A nên a không thể song song với b.

Do đó a trùng b.

Vậy cho điểm A và đường thẳng d thì có duy nhất đường thẳng đi qua A vuông góc với d.

Do a // b, b // c nên a // c.

Do $m\perp a,\ n\perp a$ nên m // n.

Các cặp đường thẳng song song là: a – b, b – c, a – c, m – n.

Do đó trên hình có 4 cặp đường thẳng song song.

Do a // b, $m\perp a$ nên $m\perp b.$

Do a // c, $m\perp a$ nên $m\perp c.$

Do a // b, $n\perp a$ nên $n\perp b.$

Do a // c, $n\perp a$ nên $n\perp c.$

Các cặp đường thẳng vuông góc là: m – a, m – b, m – c, n – a, n – b, n – c.

Do đó trên hình có 6 cặp đường thẳng vuông góc.

Kẻ tia Cz song song với Ax, do đó Cz song song với By.

Do Ax song song với Cz nên $\widehat{CAx}=\widehat{ACz}$ (2 góc so le trong).

Do By song song với Cz nên $\widehat{CBy}=\widehat{BCz}$ (2 góc so le trong).

Khi đó $\widehat{AC\text{z}}+\widehat{BC\text{z}}=\widehat{CAx}+\widehat{CBy}.$

hay $\widehat{C}=\widehat{A}+\widehat{B}.$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

a) Do Ox và $Ox'$ là hai tia đối nhau nên $\widehat{xO{x}^{'}}=180^{\circ}.$

Oy là tia nằm giữa hai tia Ox và $Ox'$ nên $\widehat{{x}^{'}Oy}+\widehat{\text{yOx}}=180^{\circ}.$

Khi đó $\widehat{{x}^{'}Oy}+\widehat{\text{yOx}}=(\widehat{{O}_{1}}+\widehat{{O}_{2}})+\widehat{{O}_{3}}=\widehat{{O}_{1}}+\widehat{{O}_{2}}+\widehat{{O}_{3}}=180^{\circ}.$

Vậy tổng ba góc O$_{1}$, O$_{2}$, O$_{3}$ bằng $180^{\circ}.$

b) Ta có: $\widehat{{O}_{1}}+\widehat{{O}_{2}}+\widehat{{O}_{3}}=180^{\circ}$ nên $\widehat{{O}_{2}}=180^{\circ}-\widehat{{O}_{1}}-\widehat{{O}_{3}}=180^{\circ}-60^{\circ}-70^{\circ}=50^{\circ}.$

Vậy $\widehat{{O}_{2}}=50^{\circ}.$

Kẻ Ot là tia đối của tia Oy.

Do Ot là tia đối của Oy nên $\widehat{tOy}=180^{\circ}.$

hay $\widehat{y\text{O}z}+\widehat{zOt}=180^{\circ}.$

Do đó $\widehat{zOt}=180^{\circ}-\widehat{y\text{O}z}=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}.$

Có $\widehat{tOy}=180^{\circ}$ hay $\widehat{y\text{Ox}}+\widehat{xOt}=180^{\circ}.$

Do đó $\widehat{xOt}=180^{\circ}-\widehat{y\text{Ox}}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.$

Do đó $\widehat{xOz}=\widehat{zOt}+\widehat{xOt}=70^{\circ}+60^{\circ}=130^{\circ}.$

Vậy $\widehat{xOz}=130^{\circ}.$