Bài tập Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ có đáp án

Hướng dẫn giải

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán này như sau:

Gọi T(x; y) là vị trí máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát t giờ (0 ≤ t ≤ 3).

Ta có: $\overrightarrow {AT} = \left( {x - 400;\,y - 50} \right)$; $\overrightarrow {AB} = \left( {100 - 400;\,450 - 50} \right) = \left( { - 300;400} \right)$.

Theo bài ra có thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ, suy ra tọa độ máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát t giờ chính là tại vị trí T sao cho $\overrightarrow {AT} = \frac{t}{3}\overrightarrow {AB}$.

Ta có: $\frac{t}{3}\overrightarrow {AB} = \frac{t}{3}\left( { - 300;\,\,400} \right) = \left( {\frac{t}{3}.\left( { - 300} \right);\frac{t}{3}.400} \right) = \left( { - 100t;\,\frac{{400t}}{3}} \right)$

Khi đó: $\overrightarrow {AT} = \frac{t}{3}\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow$ $\left( {x - 400;\,\,y - 50} \right) = \left( { - 100t;\,\,\frac{{400t}}{3}} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 400 = - 100t\\y - 50 = \frac{{400t}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400 - 100t\\y = 50 + \frac{{400t}}{3}\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát t giờ là$T\left( {400 - 100t;\,\,50 + \frac{{400t}}{3}} \right)$ với (0 ≤ t ≤ 3).

Hướng dẫn giải

Do $\overrightarrow u = \left( {{x_1};\,{y_1}} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)$ nên $\overrightarrow u = {x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j \,\,,\,\,\overrightarrow v = {x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j$.

Lời giải:

Để biểu diễn vectơ $\overrightarrow u + \overrightarrow v$ theo hai vectơ $\overrightarrow i$ và $\overrightarrow j$, ta làm như sau:

Do $\overrightarrow u = {x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j \,\,,\,\,\overrightarrow v = {x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j$, vậy nên:

$\overrightarrow u + \overrightarrow v$$= \left( {{x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j \,\,} \right) + \left( {{x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j } \right)$$= \left( {{x_1}\overrightarrow i + {x_2}\overrightarrow i \,} \right) + \left( {{y_1}\overrightarrow j \, + {y_2}\overrightarrow j } \right)$$= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\overrightarrow i + \left( {{y_1} + {y_2}} \right)\overrightarrow j$.

Tương tự, ta có:

$\overrightarrow u - \overrightarrow v$$= \left( {{x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j \,\,} \right) - \left( {{x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j } \right)$$= \left( {{x_1}\overrightarrow i - {x_2}\overrightarrow i \,} \right) + \left( {{y_1}\overrightarrow j \, - {y_2}\overrightarrow j } \right)$$= \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\overrightarrow i + \left( {{y_1} - {y_2}} \right)\overrightarrow j$.

$k\overrightarrow u = k\left( {{x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j } \right) = k{x_1}\overrightarrow i + k{y_1}\overrightarrow j = \left( {k{x_1}} \right)\overrightarrow i + \left( {k{y_1}} \right)\overrightarrow j$ (k ∈ ℝ).

Lời giải:

Do $\overrightarrow u + \overrightarrow v$$= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\overrightarrow i + \left( {{y_1} + {y_2}} \right)\overrightarrow j$ nên tọa độ vectơ $\overrightarrow u + \overrightarrow v$ là (x$_{1}$ + x$_{2}$; y$_{1}$ + y$_{2}$).

Do $\overrightarrow u - \overrightarrow v$$= \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\overrightarrow i + \left( {{y_1} - {y_2}} \right)\overrightarrow j$ nên tọa độ vectơ $\overrightarrow u - \overrightarrow v$ là (x$_{1}$ – x$_{2}$; y$_{1}$ – y$_{2}$).

Do $k\overrightarrow u = \left( {k{x_1}} \right)\overrightarrow i + \left( {k{y_1}} \right)\overrightarrow j$ nên tọa độ vectơ $k\overrightarrow u$ là (kx$_{1}$; ky$_{1}$) với (k ∈ ℝ).

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow {\rm{w}}$ = ((– 2) + 0 + (– 2); 0 + 6 + 3). Vậy $\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow {\rm{w}}$ = (– 4; 9).