Bài tập Bài toán liên quan đến định luật phóng xạ (Số hạt còn lại và số hạt đã bị phân rã) lớp 12 (có lời giải)

Số nguyên tử $_{84}^{210}{\rm{Po}}$ tại thời điểm ban đầu:

${N_0} = \frac{{{m_0}}}{A}{N_A} = \frac{{2{,}1}}{{210}}.6,{02.10^{23}} = 6,{02.10^{21}}$ nguyên tử.

Số nguyên tử $_2^4{\rm{He}}$ được tạo thành bằng số nguyên tử $_{84}^{210}{\rm{Po}}$ đã phân rã:

$\Delta N = {N_0} - N = {N_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right)$

Số nguyên tử $_2^4{\rm{He}}$ được tạo thành trong một năm là:

$\Delta N = (0{,}0084\;{\rm{mol}}) \cdot \left( {6{,}02 \cdot {{10}^{23}}\frac{{{\rm{ nguyên tử }}}}{{{\rm{mol}}}}} \right) = 5{,}06 \cdot {10^{21}}$ nguyên tử

Ta có: $\left( {1 - {2^{ - \frac{1}{T}}}} \right) = \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}} \Rightarrow {2^{ - \frac{1}{T}}} = 1 - \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}} \Rightarrow - \frac{1}{T} = {\log _2}\left( {1 - \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)$

T = 0,378 năm = 138 ngày.

${N_\alpha } = \frac{{{m_0}}}{{{A_{me}}}}{N_A}\left( {1 - {e^{ - \frac{{\ln 2}}{T}t}}} \right) \approx \frac{{{m_0}}}{{{A_{me}}}}{N_A}.\frac{{\ln 2}}{T}t$

$\Rightarrow 12400 \approx \frac{1}{{238}}.6,{023.10^{23}}.\frac{{\ln 2}}{R}\frac{{1\left( {nam} \right)}}{{365.86400}} \Rightarrow T = 4,{5.10^9}$ (năm).

Đến thời điểm t, số hạt nhân Po210 còn lại và số hạt nhân chì Pb208 tạo thành lần lượt là: $\left\{ \begin{array}{l}{N_{P0}} = {N_0}{e^{^{ - \frac{{\ln 2}}{T}t}}}\\{N_{Pb}} = \Delta N = {N_0}\left( {1 - {e^{ - \frac{{\ln 2}}{T}t}}} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow \frac{{{N_{Pb}}}}{{{N_{P0}}}} = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}t}} - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\frac{{{N_{Pb}}}}{{{N_{P0}}}}} \right)_{{t_1}}} = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}} - 1 = 3 \Rightarrow {e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}} = 4\\{\left( {\frac{{{N_{Pb}}}}{{{N_{Po}}}}} \right)_2} = {e^{\frac{{\ln 1}}{T}{t_2}}} - 1 = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}\left( {{t_1} + 276} \right)}} - 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow {\left( {\frac{{{N_{Pb}}}}{{{N_{Po}}}}} \right)_2} = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}}.4 - 1 = 15 \Rightarrow {\left( {\frac{{{N_P}}}{{{N_{Pb}}}}} \right)_{{t_2}}} = \frac{1}{{15}}.$

Đáp án đúng là A

${N_\alpha } = {N_0} \cdot \left( {1 - {2^{ - \frac{t}{{\;{\rm{T}}}}}}} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3 = {N_0} \cdot \left( {1 - {2^{ - \frac{2}{{\;{\rm{T}}}}}}} \right)}\\{15 = {N_0} \cdot \left( {1 - {2^{ - \frac{{17}}{{\;{\rm{T}}}}}}} \right)}\end{array} \Rightarrow \frac{3}{{15}} = \frac{{1 - {2^{ - \frac{2}{{\;{\rm{T}}}}}}}}{{1 - {2^{ - \frac{{17}}{{\;{\rm{T}}}}}}}} \Rightarrow T \approx 8{,}56\;{\rm{s}}} \right.$

$\Rightarrow \lambda = \frac{{\ln 2}}{T} = \frac{{\ln 2}}{{8{,}56}} \approx 0{,}081\;{{\rm{s}}^{ - 1}}$