Bài tập Bài toán liên quan đến định luật phóng xạ (Số hạt còn lại và số hạt đã bị phân rã) lớp 12 (có lời giải)

Số nguyên tử $_{84}^{210}{\rm{Po}}$ tại thời điểm ban đầu:

${N_0} = \frac{{{m_0}}}{A}{N_A} = \frac{{2{,}1}}{{210}}.6,{02.10^{23}} = 6,{02.10^{21}}$ nguyên tử.

Số nguyên tử $_2^4{\rm{He}}$ được tạo thành bằng số nguyên tử $_{84}^{210}{\rm{Po}}$ đã phân rã:

$\Delta N = {N_0} - N = {N_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right)$

Số nguyên tử $_2^4{\rm{He}}$ được tạo thành trong một năm là:

$\Delta N = (0{,}0084\;{\rm{mol}}) \cdot \left( {6{,}02 \cdot {{10}^{23}}\frac{{{\rm{ nguyên tử }}}}{{{\rm{mol}}}}} \right) = 5{,}06 \cdot {10^{21}}$ nguyên tử

Ta có: $\left( {1 - {2^{ - \frac{1}{T}}}} \right) = \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}} \Rightarrow {2^{ - \frac{1}{T}}} = 1 - \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}} \Rightarrow - \frac{1}{T} = {\log _2}\left( {1 - \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)$

T = 0,378 năm = 138 ngày.

${N_\alpha } = \frac{{{m_0}}}{{{A_{me}}}}{N_A}\left( {1 - {e^{ - \frac{{\ln 2}}{T}t}}} \right) \approx \frac{{{m_0}}}{{{A_{me}}}}{N_A}.\frac{{\ln 2}}{T}t$

$\Rightarrow 12400 \approx \frac{1}{{238}}.6,{023.10^{23}}.\frac{{\ln 2}}{R}\frac{{1\left( {nam} \right)}}{{365.86400}} \Rightarrow T = 4,{5.10^9}$ (năm).

Đến thời điểm t, số hạt nhân Po210 còn lại và số hạt nhân chì Pb208 tạo thành lần lượt là: $\left\{ \begin{array}{l}{N_{P0}} = {N_0}{e^{^{ - \frac{{\ln 2}}{T}t}}}\\{N_{Pb}} = \Delta N = {N_0}\left( {1 - {e^{ - \frac{{\ln 2}}{T}t}}} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow \frac{{{N_{Pb}}}}{{{N_{P0}}}} = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}t}} - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\frac{{{N_{Pb}}}}{{{N_{P0}}}}} \right)_{{t_1}}} = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}} - 1 = 3 \Rightarrow {e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}} = 4\\{\left( {\frac{{{N_{Pb}}}}{{{N_{Po}}}}} \right)_2} = {e^{\frac{{\ln 1}}{T}{t_2}}} - 1 = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}\left( {{t_1} + 276} \right)}} - 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow {\left( {\frac{{{N_{Pb}}}}{{{N_{Po}}}}} \right)_2} = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}}.4 - 1 = 15 \Rightarrow {\left( {\frac{{{N_P}}}{{{N_{Pb}}}}} \right)_{{t_2}}} = \frac{1}{{15}}.$

Đáp án đúng là A

${N_\alpha } = {N_0} \cdot \left( {1 - {2^{ - \frac{t}{{\;{\rm{T}}}}}}} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3 = {N_0} \cdot \left( {1 - {2^{ - \frac{2}{{\;{\rm{T}}}}}}} \right)}\\{15 = {N_0} \cdot \left( {1 - {2^{ - \frac{{17}}{{\;{\rm{T}}}}}}} \right)}\end{array} \Rightarrow \frac{3}{{15}} = \frac{{1 - {2^{ - \frac{2}{{\;{\rm{T}}}}}}}}{{1 - {2^{ - \frac{{17}}{{\;{\rm{T}}}}}}}} \Rightarrow T \approx 8{,}56\;{\rm{s}}} \right.$

$\Rightarrow \lambda = \frac{{\ln 2}}{T} = \frac{{\ln 2}}{{8{,}56}} \approx 0{,}081\;{{\rm{s}}^{ - 1}}$

Số hạt nhân con tạo thành bằng số hạt nhân mẹ đã bị phân rã.

Tại thời điểm ${t_1}$, ta có: $\frac{{{N_{{\rm{Pb}}}}}}{{{N_{{\rm{Po}}}}}} = \frac{{1 - {2^{ - \frac{{{{\rm{t}}_1}}}{{\;{\rm{T}}}}}}}}{{{2^{ - \frac{{{t_1}}}{{\;{\rm{T}}}}}}}} = {2^{\frac{{{t_1}}}{{\;{\rm{T}}}}}} - 1 = 15 \Rightarrow {t_1} = 4T$.

Tại thời điểm ${t_2} = {t_1} + 966$, ta có: $\frac{{N_{{\rm{Pb}}}^\prime }}{{N_{{\rm{Po}}}^\prime }} = {2^{\frac{{{{\rm{t}}_2}}}{{\;{\rm{T}}}}}} - 1 = {2^{\frac{{4.138 + 966}}{{138}}}} - 1 = 2047.$

Số lượng hạt nhân $_{84}^{210}Po$ phân rã là:

$\Delta {N_{{\rm{Po}}}} = {N_{0({\rm{Po}})}}\left( {1 - {2^{ - \frac{{\rm{t}}}{{{{\rm{T}}_{{\rm{Po}}}}}}}}} \right) = \frac{{{m_{0({\rm{Po}})}}}}{{{A_{{\rm{Po}}}}}} \cdot {N_{\rm{A}}}\left( {1 - {2^{ - \frac{{\rm{t}}}{{{{\rm{T}}_{{\rm{Po}}}}}}}}} \right)$

$= \frac{1}{{210}} \cdot 6{,}022 \cdot {10^{23}} \cdot \left( {1 - {2^{ - \frac{1}{{138{,}4}}}}} \right) \approx 1{,}43 \cdot {10^{19}}$ hạt

Số lượng hạt nhân $_{53}^{131}$ I phân rã là:

$\Delta {N_{\rm{I}}} = {N_{{\rm{O}}({\rm{I}})}}\left( {1 - {2^{ - \frac{1}{{\;{{\rm{T}}_1}}}}}} \right) = \frac{{{m_{0(1)}}}}{{{A_{\rm{I}}}}} \cdot {N_{\rm{A}}}\left( {1 - {2^{ - \frac{{\rm{t}}}{{{T_1}}}}}} \right)$$= \frac{1}{{131}} \cdot 6{,}022 \cdot {10^{23}} \cdot \left( {1 - {2^{ - \frac{1}{{8{,}02}}}}} \right) \approx 3{,}81 \cdot {10^{20}}$hạt

Vậy máy đo bức xạ ứng với mẫu chất chứa $_{53}^{131}{\rm{I}}$ đếm được nhiều tín hiệu hơn.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải chi tiết

a) Đúng. Số chu kì bán rã đã xảy ra là $n = \frac{t}{T} = \frac{{18}}{6} = 3$.

b) Đúng. Tỉ lệ số hạt nhân còn lại là $\frac{N}{{{N_0}}} = \frac{{1{,}0 \times {{10}^{20}}}}{{8{,}0 \times {{10}^{20}}}} = \frac{1}{8} = 12{,}5\%$.

c) Đúng. Số hạt nhân đã bị phân rã là ${N_p} = {N_0} - N = 8{,}0 \times {10^{20}} - 1{,}0 \times {10^{20}} = 7{,}0 \times {10^{20}}$ hạt.

d) Sai. Sau thêm $6$ ngày là thêm một chu kì bán rã.

Số hạt nhân còn lại là $N' = 1{,}0 \times {10^{20}} \times \frac{1}{2} = 5{,}0 \times {10^{19}}$ hạt.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải chi tiết

a) Đúng. Ta có $\frac{1}{{16}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}$, nên mẫu chất đã trải qua $4$ chu kì bán rã.

b) Đúng. Số hạt nhân bị phân rã là ${N_p} = {N_0} - \frac{1}{{16}}{N_0} = \frac{{15}}{{16}}{N_0} = 93{,}75\% {N_0}$.

c) Đúng. Sau thêm $2$chu kì: $N' = \frac{1}{{16}}{N_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{{64}}{N_0}$.

d) Sai. Tỉ số giữa số hạt nhân phân rã và số hạt nhân còn lại là $\frac{{15/16}}{{1/16}} = 15$, không phải $16$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải chi tiết

a) Đúng. Hai mẫu cùng chất, cùng thời gian nên có cùng tỉ lệ số hạt nhân còn lại so với ban đầu.

b) Đúng. Từ tỉ lệ ban đầu ${N_{0A}} = 4{N_{0B}}$, ta có tỉ lệ còn lại cũng bằng $4$.

Do đó mẫu B ban đầu có $4{,}0 \times {10^{18}}$ hạt.

c) Đúng. Mẫu A ban đầu có ${N_{0A}} = 4{N_{0B}} = 1{,}6 \times {10^{19}}$ hạt.

d) Sai. Mẫu A phân rã: ${N_{pA}} = 1{,}6 \times {10^{19}} - 8{,}0 \times {10^{18}} = 8{,}0 \times {10^{18}}$ hạt.

Mẫu B phân rã: ${N_{pB}} = 4{,}0 \times {10^{18}} - 2{,}0 \times {10^{18}} = 2{,}0 \times {10^{18}}$ hạt.

Tỉ số là $\frac{{8{,}0 \times {{10}^{18}}}}{{2{,}0 \times {{10}^{18}}}} = 4$, không phải $3$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải chi tiết

a) Đúng. Ta có $\frac{N}{{{N_0}}} = \frac{{3{,}0 \times {{10}^{20}}}}{{2{,}4 \times {{10}^{21}}}} = \frac{1}{8} = 12{,}5\%$.

b) Đúng. Vì $\frac{1}{8} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}$, nên mẫu chất đã trải qua $3$ chu kì bán rã.

c) Đúng. Số hạt nhân đã bị phân rã là ${N_p} = {N_0} - N = 2{,}4 \times {10^{21}} - 3{,}0 \times {10^{20}} = 2{,}1 \times {10^{21}}$ hạt.

d) Sai. Thời gian phân rã là $t = nT = 3 \times 8 = 24$ ngày, không phải $32$ ngày.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải chi tiết

a) Đúng. Ta có $\frac{1}{4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$, nên trong $15$ ngày đầu xảy ra $2$ chu kì bán rã.

b) Sai. Vì $15$ ngày tương ứng với $2$ chu kì nên $2T = 15$, suy ra $T = 7{,}5$ ngày.

c) Đúng. Sau toàn bộ quá trình, số hạt nhân còn lại là $\frac{1}{8}{N_0}$.

Số hạt nhân bị phân rã là ${N_p} = {N_0} - \frac{1}{8}{N_0} = \frac{7}{8}{N_0}$.

d) Sai. Sau $25$ ngày số hạt nhân còn lại là $\frac{1}{8}{N_0} = 12{,}5\% {N_0}$, không phải $25\% {N_0}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải chi tiết

a) Đúng. Ta có $\frac{N}{{{N_0}}} = \frac{{8{,}0 \times {{10}^{19}}}}{{6{,}4 \times {{10}^{20}}}} = \frac{1}{8}$.

b) Đúng. Vì $\frac{1}{8} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}$, nên mẫu chất đã trải qua $3$ chu kì bán rã.

c) Đúng. Số hạt nhân đã bị phân rã là ${N_p} = {N_0} - N = 6{,}4 \times {10^{20}} - 8{,}0 \times {10^{19}} = 5{,}6 \times {10^{20}}$ hạt.

d) Sai. Thời gian phân rã là $t = nT = 3 \times 5 = 15$ ngày, không phải $20$ ngày.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Lời giải chi tiết

a) Đúng. Vì hai mẫu cùng chất và phân rã trong cùng thời gian nên phần số hạt nhân còn lại của mỗi mẫu là như nhau.

Ta có $\frac{{{N_A}}}{{{N_B}}} = \frac{{2{,}5 \times {{10}^{19}}}}{{5{,}0 \times {{10}^{18}}}} = 5$.

b) Sai. Chưa biết hệ số còn lại sau thời gian phân rã nên chưa thể xác định số hạt nhân ban đầu của mẫu A là $5{,}0 \times {10^{19}}$ hạt.

c) Sai. Tương tự, chưa đủ dữ kiện để khẳng định số hạt nhân ban đầu của mẫu B.

d) Đúng. Gọi $k\;$ là phần số hạt nhân còn lại sau phân rã.

Ta có: ${N_{0A}} = \frac{{2{,}5 \times {{10}^{19}}}}{k}$, ${N_{0B}} = \frac{{5{,}0 \times {{10}^{18}}}}{k}$.

Do ${N_{0A}} = 5{N_{0B}}$, số hạt nhân phân rã của A và B cũng có cùng tỉ lệ: $\frac{{{N_{pA}}}}{{{N_{pB}}}} = \frac{{{N_{0A}} - {N_A}}}{{{N_{0B}} - {N_B}}} = 5$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải chi tiết

a) Đúng. Số chu kì bán rã là $n = \frac{t}{T} = \frac{{15}}{5} = 3$.

b) Đúng. Tỉ lệ số hạt nhân còn lại là $\frac{N}{{{N_0}}} = \frac{{4{,}0 \times {{10}^{20}}}}{{3{,}2 \times {{10}^{21}}}} = \frac{1}{8} = 12{,}5\%$.

c) Đúng. Số hạt nhân đã bị phân rã là ${N_p} = {N_0} - N = 3{,}2 \times {10^{21}} - 4{,}0 \times {10^{20}} = 2{,}8 \times {10^{21}}$ hạt.

d) Sai. Sau thêm $10$ ngày, mẫu chất trải qua thêm $2$ chu kì bán rã.

Số hạt nhân còn lại là $N' = 4{,}0 \times {10^{20}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 1{,}0 \times {10^{20}}$hạt.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Lời giải chi tiết

a) Đúng. Ta có $6{,}25\% = \frac{{6{,}25}}{{100}} = \frac{1}{{16}}$. Vậy $N = \frac{1}{{16}}{N_0}$.

b) Đúng. Vì $\frac{1}{{16}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}$, nên mẫu chất đã trải qua $4$chu kì bán rã.

c) Sai. Số hạt nhân đã bị phân rã là ${N_p} = {N_0} - \frac{1}{{16}}{N_0} = \frac{{15}}{{16}}{N_0} = 93{,}75\% {N_0}$, không phải $15\% {N_0}$.

d) Đúng. Sau thêm một chu kì bán rã: $N' = \frac{1}{{16}}{N_0} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{{32}}{N_0} = 3{,}125\% {N_0}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Lời giải chi tiết

a) Đúng. Ta có $\frac{N}{{{N_0}}} = \frac{{1{,}125 \times {{10}^{18}}}}{{9{,}0 \times {{10}^{18}}}} = \frac{1}{8}$.

b) Đúng. Số hạt nhân đã bị phân rã là ${N_p} = {N_0} - N = 9{,}0 \times {10^{18}} - 1{,}125 \times {10^{18}} = 7{,}875 \times {10^{18}}$ hạt.

c) Sai. Vì $\frac{1}{8} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}$, nên mẫu chất đã trải qua $3$ chu kì bán rã, không phải $4$.

d) Đúng. Sau thêm $2$ chu kì bán rã: $N' = 1{,}125 \times {10^{18}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 2{,}8125 \times {10^{17}}$ hạt.

Đáp án: 5,6.10$^{20}$

Lời giải chi tiết

Số hạt nhân đã bị phân rã là ${N_p} = {N_0} - N$.

Thay số: ${N_p} = 6{,}4 \times {10^{20}} - 8{,}0 \times {10^{19}} = 5{,}6 \times {10^{20}}$ hạt.

Đáp án: 3,0.10$^{20}$

Lời giải chi tiết

Số hạt nhân còn lại là $N = \frac{1}{{32}}{N_0}$.

Thay số: $N = \frac{1}{{32}} \times 9{,}6 \times {10^{21}} = 3{,}0 \times {10^{20}}$ hạt.

Đáp án: 20

Lời giải chi tiết

Ta có $\frac{N}{{{N_0}}} = \frac{{1{,}6 \times {{10}^{21}}}}{{2{,}56 \times {{10}^{22}}}} = \frac{1}{{16}}$.

Vì $\frac{1}{{16}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}$ nên mẫu đã trải qua $4$ chu kì bán rã.

Thời gian phân rã là $t = nT = 4 \times 5 = 20$ ngày.

Đáp án: 6

Lời giải chi tiết

Tỉ lệ còn lại: $\frac{N}{{{N_0}}} = \frac{{3{,}2 \times {{10}^{19}}}}{{5{,}12 \times {{10}^{20}}}} = \frac{1}{{16}}$.

Suy ra: ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = \frac{1}{{16}} \Rightarrow n = 4$.

Chu kì bán rã: $T = \frac{t}{n} = \frac{{24}}{4} = 6\;$ ngày.

Đáp án: 5,0.10$^{17}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $N = {N_0} - {N_p}$.

Thay số: $N = 8{,}0 \times {10^{18}} - 7{,}5 \times {10^{18}} = 0{,}5 \times {10^{18}} = 5{,}0 \times {10^{17}}$ hạt.

Đáp án: 1,12.10$^{22}$

Lời giải chi tiết

Số hạt nhân còn lại: $N = 12{,}5\% {N_0} = 0{,}125{N_0}$.

Số hạt nhân bị phân rã: ${N_p} = {N_0} - N = 0{,}875{N_0}$.

Thay số: ${N_p} = 0{,}875 \times 1{,}28 \times {10^{22}} = 1{,}12 \times {10^{22}}$ hạt.

Đáp án: 9,6.10$^{19}$

Lời giải chi tiết

Số chu kì bán rã: $n = \frac{t}{T} = \frac{{40}}{8} = 5$.

Sau $5$chu kì: $N = {N_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{{{N_0}}}{{32}}$.

Suy ra: ${N_0} = 32N = 32 \times 3{,}0 \times {10^{18}} = 9{,}6 \times {10^{19}}\;$ hạt.

Đáp án: 6,0.10$^{21}$

Lời giải chi tiết

Số hạt nhân đã bị phân rã là ${N_p} = {N_0} - N$.

Thay số: ${N_p} = 6{,}4 \times {10^{21}} - 4{,}0 \times {10^{20}} = 6{,}0 \times {10^{21}}\;$ hạt.

Đáp án: 24

Lời giải chi tiết

Ta có: $\frac{N}{{{N_0}}} = \frac{1}{{64}}$.

Mặt khác: $\frac{1}{{64}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^6}$.

Vậy mẫu chất đã trải qua $6$ chu kì bán rã.

Thời gian phân rã: $t = nT = 6 \times 4 = 24$ ngày.

Đáp án: 5,0.10$^{18}$

Lời giải chi tiết

Trước hết xác định số hạt nhân còn lại sau thời gian đầu: $\frac{N}{{{N_0}}} = \frac{{2{,}0 \times {{10}^{19}}}}{{3{,}2 \times {{10}^{20}}}} = \frac{1}{{16}}$.

Sau thời gian đầu, mẫu đã trải qua $4$ chu kì bán rã.

Trong $20$ ngày tiếp theo: $n = \frac{{20}}{{10}} = 2$ chu kì bán rã.

Số hạt nhân còn lại sau khoảng thời gian tiếp theo: $N' = 2{,}0 \times {10^{19}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$.

Suy ra: $N' = 5{,}0 \times {10^{18}}$ hạt.