Bài tập Bài tập cuối chương 9 có đáp án

Xét tam giác ADE có $\widehat{B\text{D}E}$ là góc ngoài của đỉnh D nên $\widehat{B\text{D}E}=\widehat{DA\text{E}}+\widehat{DE\text{A}}>\widehat{DA\text{E}}$

Mà $\widehat{DAE}$ là góc tù nên $\widehat{B\text{D}E}$ là góc tù.

Xét tam giác BDE có:

$\widehat{B\text{D}E}$ là góc tù nên $\widehat{B\text{D}E}$ là góc lớn nhất trong tam giác. Do đó, BE > DE (1)

Xét tam giác ABE có $\widehat{BEC}$ là góc ngoài của đỉnh E nên $\widehat{BEC}=\widehat{E\text{A}B}+\widehat{EBA}>\widehat{E\text{A}B}$

Mà $\widehat{DAE}$ là góc tù nên $\widehat{BEC}$ là góc tù.

Xét tam giác BEC có:

$\widehat{BEC}$ là góc tù nên $\widehat{BEC}$ là góc lớn nhất trong tam giác. Do đó, BC > BE (2)

Từ (1) và (2) suy ra, BC > DE (điều phải chứng minh).

a) Xét tam giác ABC có: AB > AC nên $\widehat{ACB}>\widehat{ABC}$

Xét tam giác ABD có AB = BD nên tam giác ABD cân tại B.

Suy ra, $\widehat{DAB}=\widehat{ADB}$ (tính chất tam giác cân)

Ta có, $\widehat{ABC}$ là góc ngoài đỉnh B của tam giác ABD nên $\widehat{ABC}=\widehat{DAB}+\text{​}\widehat{ADB}=2\widehat{ADB}$

Xét tam giác ACE có AC = CE nên tam giác ACE cân tại C.

Suy ra, $\widehat{EAC}=\widehat{AEC}$ (tính chất tam giác cân)

Ta có, $\widehat{ACB}$ là góc ngoài đỉnh C của tam giác ACE nên $\widehat{ACB}=\widehat{EAC}+\text{​}\widehat{AEC}=2\widehat{AEC}$

Mà $\widehat{ACB}>\widehat{ABC}$ nên $2\widehat{AEC}>2\widehat{ADB}$ hay $\widehat{AEC}>\widehat{ADB}$

Do đó, $\widehat{AED}>\widehat{ADE}$

a)

$ΔAIC$ vuông tại I nên AC là cạnh huyền.

Do đó AC > AI (1).

$ΔAIB$ vuông tại I nên AB là cạnh huyền.

Do đó AB > AI (2).

Từ (1) và (2) ta có AB + AC > AI + Ai hay AB + AC > 2AI

Suy ra AI < $\frac{1}{2}(AB+\text{​}AC)$

b) Lấy D sao cho M là trung điểm của AD.

Xét DABM và DDCM có:

MA = MD (theo cách vẽ),

$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh),

MB = MC (do M là trung điểm của BC),

Do đó DABM = DDCM (c.g.c)

Suy ra AB = DC (hai cạnh tương ứng).

Khi đó AB + AC = DC + AC.

Trong DACD có DC + AC > AD (bất đẳng thức tam giác)

Hay AB + AC > AD.

Mà AD = 2AM (do M là trung điểm của AD).

Suy ra AB + AC > 2AM hay AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC).

Vậy AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC).