Bài tập Bài tập cuối chương 9 có đáp án

Xét tam giác ADE có $\widehat{B\text{D}E}$ là góc ngoài của đỉnh D nên $\widehat{B\text{D}E}=\widehat{DA\text{E}}+\widehat{DE\text{A}}>\widehat{DA\text{E}}$

Mà $\widehat{DAE}$ là góc tù nên $\widehat{B\text{D}E}$ là góc tù.

Xét tam giác BDE có:

$\widehat{B\text{D}E}$ là góc tù nên $\widehat{B\text{D}E}$ là góc lớn nhất trong tam giác. Do đó, BE > DE (1)

Xét tam giác ABE có $\widehat{BEC}$ là góc ngoài của đỉnh E nên $\widehat{BEC}=\widehat{E\text{A}B}+\widehat{EBA}>\widehat{E\text{A}B}$

Mà $\widehat{DAE}$ là góc tù nên $\widehat{BEC}$ là góc tù.

Xét tam giác BEC có:

$\widehat{BEC}$ là góc tù nên $\widehat{BEC}$ là góc lớn nhất trong tam giác. Do đó, BC > BE (2)

Từ (1) và (2) suy ra, BC > DE (điều phải chứng minh).

a) Xét tam giác ABC có: AB > AC nên $\widehat{ACB}>\widehat{ABC}$

Xét tam giác ABD có AB = BD nên tam giác ABD cân tại B.

Suy ra, $\widehat{DAB}=\widehat{ADB}$ (tính chất tam giác cân)

Ta có, $\widehat{ABC}$ là góc ngoài đỉnh B của tam giác ABD nên $\widehat{ABC}=\widehat{DAB}+\text{​}\widehat{ADB}=2\widehat{ADB}$

Xét tam giác ACE có AC = CE nên tam giác ACE cân tại C.

Suy ra, $\widehat{EAC}=\widehat{AEC}$ (tính chất tam giác cân)

Ta có, $\widehat{ACB}$ là góc ngoài đỉnh C của tam giác ACE nên $\widehat{ACB}=\widehat{EAC}+\text{​}\widehat{AEC}=2\widehat{AEC}$

Mà $\widehat{ACB}>\widehat{ABC}$ nên $2\widehat{AEC}>2\widehat{ADB}$ hay $\widehat{AEC}>\widehat{ADB}$

Do đó, $\widehat{AED}>\widehat{ADE}$

a)

$ΔAIC$ vuông tại I nên AC là cạnh huyền.

Do đó AC > AI (1).

$ΔAIB$ vuông tại I nên AB là cạnh huyền.

Do đó AB > AI (2).

Từ (1) và (2) ta có AB + AC > AI + Ai hay AB + AC > 2AI

Suy ra AI < $\frac{1}{2}(AB+\text{​}AC)$

b) Lấy D sao cho M là trung điểm của AD.

Xét DABM và DDCM có:

MA = MD (theo cách vẽ),

$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh),

MB = MC (do M là trung điểm của BC),

Do đó DABM = DDCM (c.g.c)

Suy ra AB = DC (hai cạnh tương ứng).

Khi đó AB + AC = DC + AC.

Trong DACD có DC + AC > AD (bất đẳng thức tam giác)

Hay AB + AC > AD.

Mà AD = 2AM (do M là trung điểm của AD).

Suy ra AB + AC > 2AM hay AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC).

Vậy AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC).

Xét tam giác ABE có: C là trung điểm của AE nên BC là đường trung tuyến của tam giác ABE.

Ta lại có D là điểm nằm trên BC sao cho BD = 2DC.

Ta có: BC = BD + DC = 2DC + DC = 3DC.

Do đó, BC = 3DC và BC = 2BD hay $DC=\frac{1}{3}BC;BD=\frac{2}{3}BC$.

Điểm D thuộc trung tuyến BC thỏa mãn $DC=\frac{1}{3}BC;BD=\frac{2}{3}BC$ nên D là trọng tâm tam giác ABE.

Suy ra AD là đường trung tuyến của tam giác ABE.

Xét tam giác ABE có:

AD vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên theo Ví dụ 1 phần Luyện tập chung, trang 82, DABE cân tại A.

Đổi 1,2 m = 120 cm.

Chúng ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1. Cạnh dài 30 cm là cạnh đáy của tam giác cân.

Khi đó độ dài 2 cạnh bên là: (120 - 30) : 2 = 45 cm.

Vậy để gấp được tam giác có ba cạnh dài 30 cm, 45 cm, 45 cm, ta đánh dấu hai điểm ở giữa hai đầu mút đoạn dây, chia đoạn dây thành ba đoạn thẳng có độ dài 30 cm, 45 cm, 45 cm, trong đó đoạn dài 30 cm chứa một mút hoặc không chứa mút nào của đoạn dây như hình vẽ dưới đây.

Trường hợp 2. Cạnh dài 30 cm là cạnh bên của tam giác cân.

Khi đó độ dài cạnh đáy là: 120 - 30 - 30 = 60 cm.

Ta thấy 30 + 30 = 60 nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài 30 cm, 30 cm, 60 cm không thể tạo thành một tam giác.