Bài tập Bài 22. Ba đường conic có đáp án

A. Các câu hỏi trong bài

Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định F$_{1}$, F$_{2}$ trên một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm F$_{1}$, F$_{2}$). Kéo căng sợi dây tại một điểm M bởi một đầu bút dạ (hoặc phấn). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một đường khép kín (H.7.18).

a) Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?

b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí F$_{1}$, F$_{2}$ có thay đổi không? Vì sao?

Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm (H.7.20). Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, thì sau khi va vào thành bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?

Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F$_{1}$F$_{2}$, tia Ox trùng tia OF$_{2}$ (H.7.21).

a) Nêu tọa độ của các tiêu điểm F$_{1}$, F$_{2}$.

b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi

$\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}=2a$. (1)

Chú ý. Người ta có thể biến đổi (1) về dạng $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$, với $b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$.

Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có phương trình

$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$.

Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ của bản vẽ thiết kế ứng với 30 cm trên thực tế. Tính chiều cao h của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của đế ô thoáng 75 cm.

Giả sử thiết bị tại F$_{2}$ nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại F$_{1}$ là 2 giây và vận tốc âm thanh là 343 m/s.

a) Tìm mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F$_{1}$, F$_{2}$.

b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh có liên quan đến bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MF$_{1}$ – MF$_{2}$ = 686 (m) hay không?

Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD (H.7.25). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F$_{1}$F$_{2}$, tia Ox trùng tia OF$_{2}$ (H.7.26). Nêu tọa độ của các tiêu điểm F$_{1}$, F$_{2}$. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi

$|\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}-\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}|=2a$. (3)

Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên Δ. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF (H.7.27).

a) Nêu tọa độ của F và phương trình của ∆.

b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi

$\sqrt{{(x-\frac{p}{2})}^{2}+{y}^{2}}=|x+\frac{p}{2}|$

Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo (H.7.28). Coi bờ biển vùng đất liền đó là một đường thẳng và đảo là hình tròn. Hỏi đường ranh giới nói trên có hình gì? Vì sao?

Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H.7.33) ứng với elip có phương trình chính tắc $\frac{{x}^{2}}{400}+\frac{{y}^{2}}{76}=1$ (theo đơn vị cm). Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.

B. Bài tập

Cho elip có phương trình: $\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là A, điểm cuối là B, khoảng cách AB = 400 m. Đỉnh parabol (P) của khúc của khúc cua cách đường thẳng AB một khoảng 20 m và cách đều A, B (H.7.34).

a) Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 m trên thực tế.

b) Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 km trên thực tế.