Đề kiểm tra Ba đường conic lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Từ phương trình Elip ta có: ${a^2} = 9,{b^2} = 6$ $\Rightarrow {c^2} = 3$ $\Rightarrow c = \sqrt 3$.

$\Rightarrow$ Tiêu cự bằng $2c = 2\sqrt 3$.

Chọn A

Gọi (E) có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ ( a > b > 0 )}}$

Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{array}{l}ab = 3\sqrt 5 \\{a^2} - {b^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 5\end{array} \right.$

Vậy (E) cần tìm là $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1.$.

Phương trình chính tắc của Elip có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)$

Độ dài trục bé là $2b = 8 \Rightarrow b = 4$

Tiêu cự $2c = 4 \Rightarrow c = 2$. Mà ${c^2} = {a^2} - {b^2} \Rightarrow {a^2} = 4 + 16 = 20$

Vậy phương trình chính tắc của Elip là $\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.

Xét đáp án A:

Ta thay $A\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$ vào$\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1$ ta được:

$\frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$.

Giả sử $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ do $A,B$đối xứng nhau qua $Ox$nên $B\left( {{x_0}; - {y_0}} \right)$.

Ta có: $A{B^2} = 4{y^2}_0$và $A{C^2} = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2$.

Vì $A \in \left( E \right)$nên $\frac{{{x_0}^2}}{4} + \frac{{{y_0}^2}}{1} = 1 \Rightarrow y_0^2 = 1 - \frac{{{x_0}^2}}{4}$ $\left( 1 \right)$

Vì $AB = AC$nên ${\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2 = 4y_0^2$ $\left( 2 \right)$

Thay $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$ ta được $7x_0^2 - 16{x_0} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = \frac{2}{7}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_0} = 0\\{y_0} = \pm \frac{{4\sqrt 3 }}{7}\end{array} \right.$

Vì $A \ne C$và $A$có tung độ dương nên $A\left( {\frac{2}{7};\frac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)v\`a$ $B\left( {\frac{2}{7};\frac{{ - 4\sqrt 3 }}{7}} \right)$.