Bài tập Bài 22. Ba đường conic có đáp án

Hướng dẫn giải

a) Đường vừa nhận được có liên hệ với Hình 7.17b, hai hình này có dạng gần giống nhau.

b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ đầu bút tới các vị trí F$_{1}$, F$_{2}$ không thay đổi vì nó luôn bằng độ dài của sợi dây.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác MF$_{1}$F$_{2}$, theo bất đẳng thức tam giác ta có: MF$_{1}$+ MF$_{2}$ > F$_{1}$F$_{2}$.

Mà MF$_{1}$ + MF$_{2}$ = 2a, F$_{1}$F$_{2}$ = 2c nên 2a > 2c.

Suy ra: a > c.

Hướng dẫn giải

Vị trí ban đầu của bi và vị trí của lỗ thu là 2 tiêu điểm của hình elip, gọi hai tiêu điểm này lần lượt là F$_{1}$ và F$_{2}$. Bi lăn từ F$_{1}$ đến một vị trí M trên hình elip rồi đi đến F$_{2}$.

Do đó, quãng đường bi đi được là: MF$_{1}$+ MF$_{2}$.

Theo tính chất hình elip thì MF$_{1}$+ MF$_{2}$= 2a không đổi.

Vậy độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu không phụ thuộc vào đường đi của bi.

Hướng dẫn giải

a) Vì F$_{1}$F$_{2}$= 2c, mà O là trung điểm của F$_{1}$F$_{2}$.

Do đó ta có: F$_{1}$O = F$_{2}$O = 2c : 2 = c.

Quan sát hình ta thấy, điểm F$_{1}$ thuộc trục Ox, nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng F$_{1}$O nên tọa độ F$_{1}$(– c; 0).

Điểm F$_{2}$ thuộc trục Ox, nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng F$_{2}$O nên tọa độ F$_{2}$(c; 0).

Vậy tọa độ các tiêu điểm: F$_{1}$(– c; 0) và F$_{2}$(c; 0).

b) +) Giả sử M(x; y) thuộc elip (E) ta cần chứng minh: $\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}=2a$

Thật vậy, M thuộc elip (E) nên: MF$_{1}$+ MF$_{2}$= 2a.

Lại có: MF$_{1}$ =$\sqrt{{(x-(-c))}^{2}+{(y-0)}^{2}}=\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}$;

MF$_{2}$ = $\sqrt{{(x-c)}^{2}+{(y-0)}^{2}}=\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}$.

⇒ MF$_{1}$+ MF$_{2}$ = $\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}=2a$

Vậy $\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}=2a$.

+) Giả sử $\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}=2a$, ta cần chứng minh M thuộc elip (E).

Thật vậy: $\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}=2a$ nên: MF$_{1}$+ MF$_{2}$= 2a.

Vậy M thuộc elip (E).

Hướng dẫn giải:

Ta có: a$^{2}$ = 100, b$^{2}$ = 64. Do đó c = $\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$.

Vậy elip có hai tiêu điểm là F$_{1}$(– 6; 0); F$_{2}$(6; 0) và tiêu cự là F$_{1}$F$_{2}$ = 2c = 2 . 6 = 12.

Hướng dẫn giải

Ta có 30 cm trên thực tế ứng với 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.

Nên 75 cm trên thực tế ứng với 75 : 30 = 2,5 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.

Gọi điểm M trên elip thỏa mãn có hoành độ là 2,5, suy ra tọa độ M(2,5; y)

Mà M thuộc (E) nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình (E), do đó:

$\frac{{(2{,}5)}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1\Rightarrow {y}^{2}=\frac{39}{16}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{39}}{4}\approx 1{,}56$

Khi đó chiều cao của ô thoáng là: h ≈ 1,56 . 30 = 46,8 cm.

Vậy chiều cao của ô thoáng khoảng 46,8 cm.

Hướng dẫn giải

a) Giả sử nơi phát ra tín hiệu âm thanh là tại vị trí điểm M.

Khi đó MF$_{1}$ là khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F$_{1}$ và MF$_{2}$ là khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F$_{2}$.

Gọi t$_{1}$ là thời gian âm thanh phát từ M đến F$_{1}$, t$_{2}$ là thời gian âm thanh phát từ M đến F$_{2}$.

Thiết bị tại F$_{2}$ nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại F$_{1}$ là 2 giây nên t$_{1}$ – t$_{2}$ = 2.

Vận tốc âm thanh là 343 m/s.

Khi đó ta có: MF$_{1}$ = 343.t$_{1}$; MF$_{2}$ = 343.t$_{2}$.

Suy ra: MF$_{1}$ – MF$_{2}$ = 343.t$_{1}$ – 343.t$_{2}$ = 343.(t$_{1}$ – t$_{2}$) = 343 . 2 = 686 (m).

Vậy mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F$_{1}$, F$_{2}$là MF$_{1}$ – MF$_{2}$ = 686 (m).

b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh chính là việc giải quyết bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MF$_{1}$ – MF$_{2}$ = 686 (m).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác MF$_{1}$F$_{2}$, áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: |MF$_{1}$– MF$_{2}$| < F$_{1}$F$_{2}$.

Mà |MF$_{1}$ – MF$_{2}$| = 2a, F$_{1}$F$_{2}$ = 2c. Nên 2a < 2a.

Suy ra: a < c.

Hướng dẫn giải

Do ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD.

Vì M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD nên AM = BM = 1/2 AB và CN = DN = 1/2 CD.

Do đó ta có: BM = CN = AM = DN (*).

Khi đó BM // = ND nên BMDN là hình bình hành, suy ra BN = MD (1).

Tương tự AN = CM (2).

Hơn nữa ta chứng minh được BMNC là hình chữ nhật nên hai đường chéo BN và MC bằng nhau hay BN = MC (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra: BN = CM = AN = DM (**).

Từ (*) và (**) ta có: |BN – BM| = |CN – CM| = |AN – AM| = |DN – DM| < MN (bất đẳng thức tam giác).

Vậy A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Hướng dẫn giải

+) Vì F$_{1}$F$_{2}$= 2c, mà O là trung điểm của F$_{1}$F$_{2}$.

Do đó ta có: F$_{1}$O = F$_{2}$O = 2c : 2 = c.

Quan sát hình ta thấy, điểm F$_{1}$ thuộc trục Ox, nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng F$_{1}$O nên tọa độ F$_{1}$(– c; 0).

Điểm F$_{2}$ thuộc trục Ox, nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng F$_{2}$O nên tọa độ F$_{2}$(c; 0).

Vậy tọa độ các tiêu điểm: F$_{1}$(– c; 0) và F$_{2}$(c; 0).

+) Giả sử M(x; y) thuộc hypebol (H) ta cần chứng minh:

$|\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}-\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}|=2a$.

Thật vậy, M thuộc hypebol (H) nên: |MF$_{1}$– MF$_{2}$|= 2a.

Lại có: MF$_{1}$ = $\sqrt{{(x-(-c))}^{2}+{(y-0)}^{2}}=\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}$;

MF$_{2}$ = $\sqrt{{(x-c)}^{2}+{(y-0)}^{2}}=\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}$

⇒ |MF$_{1}$– MF$_{2}$| =$|\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}-\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}|=2a$

Vậy $\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}-\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}=2a$.

+) Giả sử $|\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}-\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}|=2a$, ta cần chứng minh M thuộc hypebol (H).

Thật vậy: $|\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}-\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}|=2a$ nên: |MF$_{1}$– MF$_{2}$|= 2a.

Vậy M thuộc hypebol (H).

Hướng dẫn giải

Ta có: a$^{2}$ = 144, b$^{2}$ = 25, nên c = $\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$.

Vậy hypebol có hai tiêu điểm là F$_{1}$(– 13; 0), F$_{2}$(13; 0) và có tiêu cự 2c = 2 . 13 = 26.

Hướng dẫn giải

Ta có: MF = $\sqrt{{x}^{2}+{(y-1)}^{2}}$.

d(M, ∆) = $\frac{|y+1|}{\sqrt{{0}^{2}+{1}^{2}}}=|y+1|$.

+) Giả sử MF = d(M, ∆), ta cần chứng minh M(x; y) thuộc (P).

Thật vậy, MF = d(M, ∆) $\Leftrightarrow \sqrt{{x}^{2}+{(y-1)}^{2}}=|y+1|$

Bình phương cả hai vế của phương trình trên ta được:

x$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = (y + 1)$^{2}$

⇔ x$^{2}$ – 4y = 0 ⇔ y = 1/4x$^{2}$.

Vậy M thuộc (P).

+) Giả sử M(x; y) thuộc (P), ta cần chứng minh MF = d(M, Δ).

M(x; y) thuộc (P) nên y = 1/4x$^{2}$ hay x$^{2}$ = 4y, thay vào biểu thức tính MF ta có:

MF = $\sqrt{{x}^{2}+{(y-1)}^{2}}=\sqrt{4y+{(y-1)}^{2}}=\sqrt{4y+{y}^{2}-2y+1}$

= $\sqrt{{y}^{2}+2y+1}=\sqrt{{(y+1)}^{2}}=|y+1|$ = d(M, ∆).

Vậy MF = d(M, Δ).

Hướng dẫn giải

a)

+) Khoảng cách từ F đến ∆, chính là FH và chính bằng tham số tiêu của (P) nên HF = p.

Lại có O là trung điểm của HF nên HO = OF = $\frac{1}{2}$HF =$\frac{p}{2}$.

Điểm F thuộc trục Ox và nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng OF nên tọa độ của F là F($\frac{p}{2}$; 0).

Điểm H thuộc trục Ox và nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng OH nên tọa độ của H là H (- $\frac{p}{2}$; 0).

+) Đường thẳng ∆ đi qua điểm H (-$\frac{p}{2}$; 0) và vuông góc với trục Ox, do đó phương trình của ∆ là x = - $\frac{p}{2}$ hay ∆: x + $\frac{p}{2}$ = 0.

b) Ta có: MF = $\sqrt{{(x-\frac{p}{2})}^{2}+{y}^{2}}$.

d(M, ∆) = $\frac{|x+\frac{p}{2}|}{\sqrt{{1}^{2}+0}}=|x+\frac{p}{2}|$.

+) Giả sử M thuộc (P), ta cần chứng minh $\sqrt{{(x-\frac{p}{2})}^{2}+{y}^{2}}=|x+\frac{p}{2}|$.

Thật vậy, vì M thuộc (P) nên MF = d(M, ∆). $\sqrt{{(x-\frac{p}{2})}^{2}+{y}^{2}}=|x+\frac{p}{2}|$.

+) Giả sử $\sqrt{{(x-\frac{p}{2})}^{2}+{y}^{2}}=|x+\frac{p}{2}|$, ta cần chứng minh M thuộc (P).

Thật vậy, vì $\sqrt{{(x-\frac{p}{2})}^{2}+{y}^{2}}=|x+\frac{p}{2}|$ nên MF = d(M, ∆).

Vậy M thuộc (P).

Gọi R là bán kính đảo hình tròn, d là đường bờ biển. Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong đất liền, song song với d và cách d một khoảng bằng R = OA.

Ta có: d(M, ∆) = MH + R = MA + AO = MO.

Vậy tập hợp các điểm M thuộc đường parabol (P) có tiêu điểm là O, đường chuẩn là ∆.

Vậy đường ranh giới cần tìm là đường parabol (P).

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là tiêu cự của elip.

Ta có: a$^{2}$ = 400, b$^{2}$ = 76, nên c = $\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{400-76}=\sqrt{324}=18$, do đó tiêu cự là 2c = 2 . 18 = 36.

Vậy khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là 36 cm.

Hướng dẫn giải

Ta có: a$^{2}$ = 36, b$^{2}$ = 9, nên c = $\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$.

Do đó elip có các tiêu điểm là F$_{1}$ $(-3\sqrt{3};0)$, F$_{2}$ $(3\sqrt{3};0)$và tiêu cự 2c = 2 . $3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: a$^{2}$ = 7, b$^{2}$ = 9, nên c = $\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{7+9}=\sqrt{16}=4$.

Do đó hypebol có các tiêu điểm là F$_{1}$(– 4; 0), F$_{2}$(4; 0) và tiêu cự 2c = 2 . 4 = 8.

Hướng dẫn giải

Ta có: 2p = 8 nên p = 8 : 2 = 4.

Suy ra $\frac{p}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

Vậy parabol có tiêu điểm F(2; 0) và đường chuẩn ∆: x = – 2.

Hướng dẫn giải

Elip (E) có dạng: $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ với a > b > 0.

+) Vì elip đi qua điểm A(5; 0) nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình elip, khi đó ta có: $\frac{{5}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{0}^{2}}{{b}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{{5}^{2}}{{a}^{2}}=1\Leftrightarrow {a}^{2}={5}^{2}$.

Suy ra: a = 5 (do a > 0).

+) Elip này có một tiêu điểm F$_{2}$(3; 0), nên c = 3 hay $\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=3$.

Thay a$^{2}$ = 25 vào ta được: $\sqrt{25-{b}^{2}}=3\Rightarrow 25-{b}^{2}=9\Leftrightarrow {b}^{2}=16$.

Suy ra b = 4 (do b > 0).

Vậy phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(5; 0) và có một tiêu điểm là F$_{2}$(3; 0) là $\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$.

Hướng dẫn giải

Gọi dạng của phương trình chính tắc của parabol cần lập là: y$^{2}$ = 2px (với p > 0).

Vì parabol đi qua điểm M(2; 4), nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình parabol hay x = 2 và y = 4, khi đó ta có: 4$^{2}$ = 2p . 2 ⇔ p = 4 (thỏa mãn).

Suy ra 2p = 2 . 4 = 8.

Vậy phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2; 4) là y$^{2}$ = 8x.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A, B nằm trên trục Ox, tia Ox trùng với tia OB, O là trung điểm của AB.

Ta có: AB = 300 nên AO = OB = AB : 2 = 300 : 2 = 150.

Khi đó ta xác định được tọa độ hai điểm A, B là: A(– 150; 0) và B(150; 0).

Gọi vị trí tàu thủy là điểm M nằm trên hypebol có 2 tiêu điểm là A và B.

Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s nên ta có:

|MA – MB| = 0,0005 . 292 000 = 146 (km).

Gọi phương trình chính tắc của hypebol cần lập có dạng:

$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ với a, b > 0.

Vì |MA – MB| = 146 = 2a ⇔ a = 73 (thỏa mãn).

Suy ra a$^{2}$ = 73$^{2}$ = 5329.

Do hypebol có hai tiêu điểm là: A(– 150; 0) và B(150; 0) nên c = 150.

Ta có: $\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=c\Leftrightarrow \sqrt{{73}^{2}+{b}^{2}}=150$

$\Rightarrow {73}^{2}+{b}^{2}={150}^{2}\Leftrightarrow {b}^{2}=17171$

Suy ra b = $\sqrt{17171}$ (do b > 0).

Vậy tàu thủy thuộc đường hypebol có hai tiêu điểm là A(– 150; 0), B (150; 0), có tiêu cự 2c = 2 . 150 = 300 và có phương trình chính tắc là: $\frac{{x}^{2}}{5329}-\frac{{y}^{2}}{17171}=1$.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho đỉnh của parabol trùng với gốc tọa độ O(0; 0) (như hình vẽ).

Gọi H là hình chiếu của O lên AB, khi đó ta chứng minh được H là trung điểm của AB nên HA = HB = 1/2AB.

Khoảng cách từ đỉnh khúc cua đến đường thẳng AB là OH.

a) Khoảng cách AB = 400 m.

Ta có: HA = HB = 400 : 2 = 200 (m).

OH = 20 m.

Nếu 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 m trên thực tế thì tọa độ các điểm là: A(20; – 200) và B(20; 200).

Gọi phương trình parabol (P) có dạng y$^{2}$ = 2px (với p > 0).

Khi đó A, B đều thuộc (P).

Thay tọa độ điểm B vào phương trình parabol (P) ta có: 200$^{2}$ = 2p . 20 ⇔ 2p = 2000.

Vậy parabol (P) có phương trình là: y$^{2}$ = 2000x.

b) Đổi: 400 m = 0,4 km; 20 m = 0,02 km.

Khi đó HA = HB = 0,4 : 2 = 0,2 (km).

OH = 0,02 km.

Nếu 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 km trên thực tế thì tọa độ các điểm là: A(0,02; – 0,2) và B(0,02; 0,2)

Gọi phương trình parabol (P) có dạng y$^{2}$ = 2p'x (với p' > 0).

Khi đó A, B đều thuộc (P).

Thay tọa độ điểm B vào phương trình parabol (P) ta có: 0,2$^{2}$ = 2p' . 0,02 ⇔ 2p' = 2.

Vậy parabol (P) có phương trình là: y$^{2}$ = 2x.