Bài tập Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách có đáp án

A. Các câu hỏi trong bài

Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi đường thẳng đều có đối tượng đại số tương ứng, gọi là phương trình của nó. Vậy các yếu tố liên quan tới đường thẳng được thể hiện như thế nào qua phương trình tương ứng?

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng

∆$_{1}$: x – 2y + 3 = 0,

∆$_{2}$: 3x – y – 1 = 0.

a) Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?

b) Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\3x - y - 1 = 0\end{array} \right.$.

c) Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ với nghiệm của hệ phương trình trên.

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆$_{1}$: x + 4y – 3 = 0 và ∆$_{2}$: x – 4y – 3 = 0;

b) ∆$_{1}$: x + 2y – $\sqrt 5$= 0 và ∆$_{2}$: 2x + 4y – $3\sqrt 5$ = 0.

Hai đường thẳng ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6). Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?

Cho hai đường thẳng cắt nhau ∆$_{1}$, ∆$_{2}$ tương ứng có các vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow n _1},\,\,{\overrightarrow n _2}$. Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:

a) góc φ và góc $\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)$;

b) cosφ và cos$\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)$.

Tính góc giữa hai đường thẳng

∆$_{1}$: x + 3y + 2 = 0 và ∆$_{2}$: y = 3x + 1.

Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0.

a) Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành.

b) Lập phương trình đường thẳng ∆$_{0}$ đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với ∆.

c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa α$_{∆}$ và α$_{∆0}$.

d) Gọi M là giao điểm của ∆$_{0}$ với nửa đường tròn đơn vị và x$_{0}$ là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo x$_{0}$ và a. Từ đó, chứng minh rằng tanα$_{∆}$ = a.

Cho điểm M(x$_{0}$; y$_{0}$) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {a;\,b} \right)$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ (H.7.9).

a) Chứng minh rằng $\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM$.

b) Giả sử H có tọa độ (x$_{1}$; y$_{1}$). Chứng minh rằng: $\overrightarrow n .\overrightarrow {HM}$ = a(x$_{0}$ – x$_{1}$) + b(y$_{0}$ – y$_{1}$) = ax$_{0}$ + by$_{0}$ + c.

c) Chứng minh rằng $HM = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ (H.7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải Ví dụ 4.

Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5 m, CF = 6 m (H.7.11).

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.

b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không ?

B. Bài tập

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆$_{1}$: $3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - \sqrt 3 = 0$ và ∆$_{2}$: 6x + 2y$- \sqrt 6$ = 0.

b) d$_{1}$: x $- \sqrt 3 y$ + 2 = 0 và d$_{2}$: $\sqrt 3$x – 3y + 2 = 0.

c) m$_{1}$: x – 2y + 1 = 0 và m$_{2}$: 3x + y – 2 = 0.

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆$_{1}$: $\sqrt 3 x$ + y – 4 = 0 và ∆$_{2}$: x + $\sqrt 3 y$ + 3 = 0;

b) d$_{1}$: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + 4t\end{array} \right.$ và d$_{2}$: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + s\\y = 1 - 3s\end{array} \right.$ (t, s là các tham số).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆.

b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và song song với ∆.

c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với ∆.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1).

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.