9 bài tập Chứng minh nhiều điếm cùng thuộc đường tròn (có lời giải)

Xét tam giác ${\rm{ABC}}$ vuông tại ${\rm{A}}$.

Theo định lí Pythagore, ta có:

${\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = {3^2} + {4^2}$

$\Rightarrow {\rm{BC}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5(\;{\rm{cm}})$

Gọi ${\rm{O}}$ là trung điểm của ${\rm{BC}}$, ta có:

${\rm{OB}} = {\rm{OC}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5(\;{\rm{cm}})$

Mặt khác ${\rm{OA}}$ là trung tuyến của tam giác ${\rm{ABC}}$ vuông tại ${\rm{A}}$

Ta có ${\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = 2{,}5(\;{\rm{cm}})$

Nên ba điểm ${\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}}$ thuộc đường tròn tâm ${\rm{O}}$ là trung điểm đoạn ${\rm{BC}}$ và bán kính

$R = 2{,}5(\;{\rm{cm}})$.

Gọi ${\rm{O}}$ là trung điểm của ${\rm{BC}}$.

Các tam giác vuông ${\rm{BDC}}$ và ${\rm{BEC}}$ có chung cạnh huyền ${\rm{BC}}$ và ${\rm{OD}},\,\,{\rm{OE}}$ là các trung tuyến tương ứng.

Ta có ${\rm{OD}} = {\rm{OE}}\left( { = \frac{1}{2}{\rm{BC}}} \right)$

$\Rightarrow {\rm{OD}} = {\rm{OE}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = \frac{1}{2}{\rm{a}}{\rm{. }}$

Vậy bốn điểm ${\rm{B}},\,\,{\rm{E}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{C}}$ cùng thuộc đường tròn tâm ${\rm{O}}$ là trung điểm của ${\rm{BC}}$ và bán kính bằng $\frac{{\rm{a}}}{2}$.

Gọi ${\rm{O}}$ là giao điểm của hai đường chéo ${\rm{AC}}$ và ${\rm{BD}}$

Ta có: ${\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = {\rm{OD}}$(tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật Vậy bốn điểm

${\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}$ cùng thuộc đường tròn tâm ${\rm{O}}$ bán kính ${\rm{OA}}$.

Xét tam giác vuông ${\rm{ADC}}$ vuông tại ${\rm{D}}$.

Theo định lý Pythagore ta có:

${\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{D}}^2} + {\rm{C}}{{\rm{D}}^2} = {18^2} + {12^2}$

$\Rightarrow {\rm{AC}} = \sqrt {{{18}^2} + {{12}^2}} = 6\sqrt {13} (\;{\rm{cm}})$

Vậy bán kính của đường tròn $({\rm{O}})$ đi qua bốn điểm ${\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}$ là $\frac{{6\sqrt {13} }}{2}$.

Gọi ${\rm{E}},\,\,{\rm{G}},\,\,{\rm{H}},\,\,{\rm{I}}$ lần lượt là trung điểm của bốn cạnh ${\rm{AB}},\,\,{\rm{BC}},\,\,{\rm{CD}},\,\,{\rm{DA}}$ của hình thoi và ${\rm{O}}$ là

giao điểm của hai đường chéo ${\rm{AC}}$ và ${\rm{BD}}$.

${\rm{Ta}}$ có ${\rm{OE}},\,\,{\rm{OG}},\,\,{\rm{OH}},\,\,{\rm{OI}}$ lần lượt là các đường trung tuyến của các tam giác vuông $\Delta {\rm{AOB}}$,

$\Delta {\rm{BOC}},\,\,\Delta {\rm{COD}},\,\,\Delta {\rm{DOA}}$

$\Rightarrow {\rm{OE}} = \frac{1}{2}{\rm{AB}},\,\,{\rm{OG}} = \frac{1}{2}{\rm{BC}},\,\,{\rm{OH}} = \frac{1}{2}{\rm{CD}},\,\,{\rm{OI}} = \frac{1}{2}{\rm{AD}}$

Mà ${\rm{AB}} = {\rm{BC}} = {\rm{CD}} = {\rm{AD}}$ (cạnh hình thoi) $\Rightarrow {\rm{OE}} = {\rm{OG}} = {\rm{OH}} = {\rm{OI}}$

Chứng tỏ bốn điểm ${\rm{E}},{\rm{G}},{\rm{H}},{\rm{I}}$ cùng thuộc đường tròn ${\rm{(O)}}{\rm{.}}$

Ta có ${\widehat {\rm{A}}_1} = {\widehat {\rm{D}}_1}$ (cùng phụ với ${\widehat {\rm{M}}_1}$ )

Do đó $\Delta {\rm{ABP}} = \Delta {\rm{DAM}}$ (g.c.g) $\Rightarrow {\rm{BP}} = {\rm{AM}} \Rightarrow {\rm{PC}} = {\rm{ND}}$.

Lại có ${\rm{PC//ND}}$ và $\widehat {{\rm{BCD}}} = 90^\circ ({\rm{gt}})$

$\Rightarrow$ PCDN là hình chữ nhật. Gọi ${\rm{O}}$ là giao điểm của hai đường chéo ${\rm{PD}}$ và ${\rm{CN}}$ ta có ${\rm{O}}$ là

tâm đường tròn đi qua bốn điểm ${\rm{P}}{\rm{,}}\,\,{\rm{C}}{\rm{,}}\,\,{\rm{D}}{\rm{,}}\,\,{\rm{N}}$.

Mặt khác $\Delta {\rm{PHD}}$ vuông (gt) có ${\rm{HO}}$ là trung tuyến

$\Rightarrow {\rm{HO}} = {\rm{OP}} = {\rm{OD}}$ hay ${\rm{H}}$ thuộc đường tròn tâm O.

Vậy năm điểm ${\rm{C}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{H}},\,\,{\rm{P}}$ cùng thuộc đường tròn ${\rm{(O)}}$.