8 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bất phương trình bậc hai một ẩn có đáp án (Phần 2) (Thông hiểu)

Đáp án đúng là: A

Tam thức bậc hai – x$^{2}$ + 6x + 7 có hai nghiệm x = – 1, x = 7 và có hệ số a = – 1 < 0.

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức – x$^{2}$ + 6x + 7 mang dấu “+” là (– 1; 7).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – x$^{2}$ + 6x + 7 > 0 là S = (– 1; 7).

Đáp án đúng là: C

Ta có (x$^{2}$ – 3x + 1)$^{2}$ + 3x$^{2}$ – 9x + 5 > 0

$\Leftrightarrow$ (x$^{2}$ – 3x + 1)$^{2}$ + 3(x$^{2}$ – 3x + 1) + 2 > 0

Đặt x$^{2}$ – 3x + 1 = t.

Khi đó ta có: t$^{2}$ + 3t + 2 > 0 (*).

Giải bất phương trình (*) ta được: $[\begin{matrix}t<-2 \\ t>-1\end{matrix}$.

$\Leftrightarrow$ $[\begin{matrix}{x}^{2}-3x+1<-2 \\ {x}^{2}-3x+1>-1\end{matrix}$$\Leftrightarrow$ $[\begin{matrix}{x}^{2}-3x+3<0 \\ {x}^{2}-3x+2>0\end{matrix}$

$\Leftrightarrow$ $[\begin{matrix}vô\ nghiêm \\ [\begin{matrix}x<1 \\ x>2\end{matrix}\end{matrix}$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix}x<1 \\ x>2\end{matrix}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = (−$\infty$; 1) $\cup$ (2; +$\infty$).

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\frac{1}{{x}^{2}-5x+4}$< $\frac{1}{{x}^{2}-7x+10}$

$\Leftrightarrow$$\frac{1}{{x}^{2}-7x+10}$−$\frac{1}{{x}^{2}-5x+4}$> 0

$\Leftrightarrow$$\frac{2x-6}{({x}^{2}-7x+10)({x}^{2}-5x+4)}$> 0

Ta có 2x – 6 = 0 có nghiệm là x = 3

Tam thức x$^{2}$ – 7x + 10 có hai nghiệm là x = 2, x = 5

Tam thức x$^{2}$ – 5x + 4 có hai nghiệm nghiệm là x = 1, x = 4

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S = (1; 2) $\cup$ (3; 4) $\cup$ (5; +¥).

Đáp án đúng là: A

Vì 2x$^{2}$ – 3x + 3 > 0, "x $\in$ ℝ (do a = 3 > 0, ∆ = −15 < 0)

Nên:

−1 ≤ $\frac{{x}^{2}+5x+a}{2{x}^{2}-3x+2}$< 7

$\Leftrightarrow$ −2x$^{2}$ + 3x – 2 ≤ x$^{2}$ + 5x + a < 7(2x$^{2}$ – 3x + 2)

$\Leftrightarrow$$\{\begin{matrix}-2{x}^{2}+3x-2\le {x}^{2}+5x+a \\ {x}^{2}+5x+a<14{x}^{2}-21x+14\end{matrix}$

$\Leftrightarrow$$\{\begin{matrix}3{x}^{2}+2x+a+2\ge 0\ (1) \\ 13{x}^{2}-26x-a+14>0\ (2)\end{matrix}$

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x $\Leftrightarrow$ Hệ trên nghiệm đúng với mọi x

VT (1) = 3x$^{2}$ + 2x + a + 2 ≥ 0, "x

$\Leftrightarrow$$\{\begin{matrix}3>0\ \\ Δ{'}_{(1)}=1-3(a+2)\le 0\end{matrix}$

$\Leftrightarrow$ −5 − 3a ≤ 0 Û a ≥ $\frac{-5}{3}$ (3)

VT (2) = 13x$^{2}$ – 26x – a + 14 > 0, "x

$\Leftrightarrow$$\{\begin{matrix}13>0\ \\ Δ{'}_{(2)}={13}^{2}-13(-a+14)<0\end{matrix}$

$\Leftrightarrow$ −13 + 13a < 0 Û a < 1 (4)

Từ (3) và (4) ta được $\frac{-5}{3}$≤ a < 1.

Đáp án đúng là: C

Với m = 1, ta có: −4x – 3 > 0 Û x < $\frac{-3}{4}$

Không có nghiệm đúng với mọi x $\in$ ℝ

Với m ≠ 1, ta đặt f(x) = (m – 1)x$^{2}$ – 2(m + 1)x + 3(m – 2)

BPT đã cho nghiệm đúng với mọi x Û f(x) > 0, "x Î ℝ

$\Leftrightarrow$$\{\begin{matrix}a>0 \\ Δ'<0\end{matrix}$

$\Leftrightarrow$ $\{\begin{matrix}m-1>0\ \\ Δ'={(m+1)}^{2}-3(m-2)(m-1)<0\end{matrix}$

$\Leftrightarrow$ $\{\begin{matrix}m>1\ \\ -2{m}^{2}+11m-5<0\end{matrix}$$\Leftrightarrow$ $\{\begin{matrix}m>1 \\ [\begin{matrix}m<\frac{1}{2} \\ m>5\end{matrix}\end{matrix}$$\Leftrightarrow$ $[\begin{matrix}\{\begin{matrix}m>1 \\ m<\frac{1}{2}\end{matrix}\ (VN) \\ \{\begin{matrix}m>1 \\ m>5\end{matrix}\end{matrix}$ $\Leftrightarrow$ m > 5.