8 bài tập Tính các tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong một tam giác vuông biết độ dài các cạnh (có lời giải)

Áp dụng định lí Pythagore ta có: $AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}} = 0{,}9m$

$\sin B = \cos A = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{0{,}9}}{{1{,}5}} = 0{,}60$

$\cos B = \sin A = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{1{,}2}}{{1{,}5}} = 0{,}80.\quad$

$\tan B = \cot A = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{0{,}9}}{{1{,}2}} = 0{,}75$

$\cot B = \tan A = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{1{,}2}}{{0{,}9}} = 1{,}3$.

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$.

Ta có

$\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{3}{5};\quad \tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3};$

$\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{5};\quad \cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}.$

Ta có $A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {3{,}5^2} - {1{,}5^2} = 10 \Rightarrow AC = \sqrt {10}$.

Do đó $\cos B = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{1{,}5}}{{3{,}5}} \approx 0{,}4286$

$$\begin{array}{l}\sin B = \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{3{,}5}} \approx 0{,}9035\\\cot B = \tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{1{,}5}}{{\sqrt {10} }} \approx 0{,}4743\\\tan B = \cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{1{,}5}} \approx 2{,}1082\end{array}$$

Ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169 \Rightarrow BC = 13$.

Do đó $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{13}}$; $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{5}{{13}}$;

$\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{12}}{5}$; $\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{{12}}$.

Ta đặt $AB = m$ thì $BC = 2m$, suy ra

$A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = 4{m^2} - {m^2} = 3{m^2} \Rightarrow AC = m\sqrt 3$.

Ta có $\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{m}{{2m}} = \frac{1}{2};\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{m\sqrt 3 }}{{2m}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};$

$\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{m}{{m\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }};\cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{m\sqrt 3 }}{m} = \sqrt 3$.