Bài tập Chứng minh đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC.

Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có: $\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}$.

Suy ra $\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{BD + DC}}{{AB + AC}} = \frac{{BC}}{{AC + AC}}$.

Vậy $\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{a}{{b + c}}$.

Kẻ BI⊥AD (I ∈ AD), suy ra BI ≤ BD.

∆IAB có $\widehat {AIB} = 90^\circ$.

Do đó, sin$\widehat {BAI}$ = $\frac{{BI}}{{AB}}$ hay $\sin \frac{A}{2} \le \frac{a}{{b + c}}$.

Hướng dẫn giải

Vẽ AH⊥BC, H ∈ BC.

Vì trong tam giác HAB có $\widehat H = 90^\circ$ nên sin B = $\frac{{AH}}{{AB}}$.

Do trong tam giác AHC có $\widehat H = 90^\circ$ nên sin C = $\frac{{AH}}{{AC}}$.

Do đó, $\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{b}{c}$ suy ra $\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$.

Tương tự, ta suy ra $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}$.

Vậy $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

sinB = $\frac{{AC}}{{BC}}$; sinC = $\frac{{AB}}{{BC}}$.

Do đó, $\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{BC}}:\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{BA}}$ (đpcm).

Đáp án đúng là: D

Ta có: cos$^{2}$α + sin$^{2}$α = 1 với 0° ≤ α ≤ 180° nên ta cũng có:

${\cos ^2}\frac{\alpha }{5} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{5}$ = 1.

Suy ra $5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5$.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC, ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ nên $\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)$

hay $\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A$.

Do đó sin A = sin (180° − $\widehat A$) = sin (B + C).

Suy ra khẳng định A là đúng.

Lại có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ suy ra $\frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$.

Do đó: cos$\frac{A}{2}$ = sin$\frac{{B + C}}{2}$ (hai góc phụ nhau).

Suy ra khẳng định C là đúng.

Mặt khác tanA = −tan(180° − A) = −tan(B + C).

Suy ra khẳng định D là đúng.

Vậy chọn đáp án B.