8 bài tập Tính các tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong một tam giác vuông biết độ dài các cạnh (có lời giải)

Áp dụng định lí Pythagore ta có: $AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}} = 0{,}9m$

$\sin B = \cos A = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{0{,}9}}{{1{,}5}} = 0{,}60$

$\cos B = \sin A = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{1{,}2}}{{1{,}5}} = 0{,}80.\quad$

$\tan B = \cot A = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{0{,}9}}{{1{,}2}} = 0{,}75$

$\cot B = \tan A = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{1{,}2}}{{0{,}9}} = 1{,}3$.

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$.

Ta có

$\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{3}{5};\quad \tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3};$

$\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{5};\quad \cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}.$

Ta có $A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {3{,}5^2} - {1{,}5^2} = 10 \Rightarrow AC = \sqrt {10}$.

Do đó $\cos B = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{1{,}5}}{{3{,}5}} \approx 0{,}4286$

$$\begin{array}{l}\sin B = \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{3{,}5}} \approx 0{,}9035\\\cot B = \tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{1{,}5}}{{\sqrt {10} }} \approx 0{,}4743\\\tan B = \cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{1{,}5}} \approx 2{,}1082\end{array}$$

Ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169 \Rightarrow BC = 13$.

Do đó $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{13}}$; $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{5}{{13}}$;

$\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{12}}{5}$; $\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{{12}}$.

Ta đặt $AB = m$ thì $BC = 2m$, suy ra

$A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = 4{m^2} - {m^2} = 3{m^2} \Rightarrow AC = m\sqrt 3$.

Ta có $\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{m}{{2m}} = \frac{1}{2};\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{m\sqrt 3 }}{{2m}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};$

$\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{m}{{m\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }};\cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{m\sqrt 3 }}{m} = \sqrt 3$.

Ta có $BH = 6:2 = 3$; $AB = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5$. Do đó

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{}&{\sin B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{4}{5} = 0{,}8;}\\{}&{\cos B = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{3}{5} = 0{,}6;}\\{}&{\tan B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{4}{3};}\\{}&{\cot B = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{3}{4} = 0{,}75.}\end{array}$

Ta có $A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {6^2} - {3^2} = 27 \Rightarrow AH = 3\sqrt 3$.

Do đó $\tan C = \cot B = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{3}{{3\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Ta có $O{H^2} = HM \cdot HN = 1 \cdot 3 = 3 \Rightarrow OH = \sqrt 3$;

$OM = \sqrt {1 + 3} = 2$.

Do đó $\sin M = \frac{{OH}}{{OM}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Mặt khác $\cos N = \sin M = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ nên $\sin M + \cos N = \sqrt 3$.