8 bài tập Đặt ẩn phụ đưa về phương pháp thế (có lời giải)

a) Điều kiện $x \ne 0,\,y \ne 0$

Đặt $X = \frac{1}{x},\,Y = \frac{1}{y}$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}X - Y = 1\\3X + 4Y = 5\end{array} \right.$

Thay $X = 1 + Y$ vào phương trình thứ hai

$\begin{array}{l}3(1 + Y)\, + \,4Y = 5\\Y = \frac{2}{7}\end{array}$

khi đó $X = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$

Trở lại ẩn $x,\,y$ của hệ: $X = \frac{9}{7} = \frac{1}{x}\,hay\,x = \frac{7}{9}$

$\begin{array}{l}Y = \frac{2}{7} = \frac{1}{y}\\y = \frac{7}{2}\end{array}$

Vậy hệ có nghiệm $\left( {\frac{7}{9};\,\frac{7}{2}} \right)$

c) Đặt $X = {x^2},\,Y = {y^2}$ (Điều kiện $X \ge 0,\,Y \ge 0$)

Ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}3X + Y = 5\\X - 3Y = 1\end{array} \right.$ Giải hệ bằng phương pháp thay thế ta được:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}X = \frac{8}{5}\\Y = \frac{1}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{8}{5}\\{y^2} = \frac{1}{5}\end{array} \right.\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{l}x = \pm \sqrt {\frac{8}{5}} = \pm \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\\y = \pm \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}\end{array} \right.$

Vậy hệ có 4 nghiệm:

$\left( {\frac{{2\sqrt {10} }}{5};\,\frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right);\,\left( {\frac{{2\sqrt {10} }}{5};\, - \frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right);\,\left( { - \frac{{2\sqrt {10} }}{5};\frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right);\,\left( { - \frac{{2\sqrt {10} }}{5};\, - \frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right)$

b) Điều kiện $x \ne 2,\,y \ne 1$ . Đặt $X = \frac{1}{{x - 2}},\,Y = \frac{1}{{y - 1}}$

Ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}X + Y = 2\\2X - 3Y = 1\end{array} \right.$ Giải ra ta được $\left\{ \begin{array}{l}X = \frac{7}{5}\\Y = \frac{3}{5}\end{array} \right.$

Khi đó

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 2}} = \frac{7}{5}\\\frac{1}{{y - 1}} = \frac{3}{5}\end{array} \right.\\\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = \frac{5}{7}\\y - 1 = \frac{5}{3}\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{19}}{7}\\y = \frac{8}{3}\end{array} \right.$

Vậy hệ có nghiệm $\left( {\frac{{19}}{7},\,\frac{8}{3}} \right)$

a) Nhận xét: $\sqrt {\frac{{1 - x}}{{2y + 1}}} .\sqrt {\frac{{2y + 1}}{{1 - x}}} = 2$

Đặt $t = \sqrt {\frac{{1 - x}}{{2y + 1}}}$ $(t > 0)$ thì $\sqrt {\frac{{2y + 1}}{{1 - x}}} = \frac{1}{t}$

Phương trình thứ nhất của hệ trở thành:

$t + \frac{1}{t} = 2$ hay ${(t - 1)^2} = 0$ nên $t = 1$

Khi đó $\sqrt {\frac{{1 - x}}{{2y + 1}}} = 1$ nên $1 - x = 2y + 1$ hay $x = - 2y$

Thay $x = - 2y$ vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

$- 3y = 1$ hay $y = - \frac{1}{3}$, khi đó $x = \frac{2}{3}$

Vậy hệ có nghiệm $\left( {\frac{2}{3},\, - \frac{1}{3}} \right)$

b) Áp dụng: $\left| a \right| = \left| {b \Leftrightarrow a = \pm b} \right|$. Ta có:

$\begin{array}{l}\left| {x - y} \right| = \left| {2y - 1} \right|\\\left[ \begin{array}{l}x - y = 2y - 1\\x - y = - 2y + 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = 3y - 1\\x = - y + 1\end{array} \right.\end{array}$

Trường hợp 1: Thay $x = 3y - 1$ vào phương trình thứ hai của hệ ta được: $y + 1 = 6y - 2 \Leftrightarrow y = \frac{3}{5}$

Khi đó $x = \frac{4}{5}$. Ta có nghiệm $\left( {\frac{2}{3};\,\frac{1}{3}} \right)$

Vậy hệ có hai nghiệm $\left( {\frac{4}{5};\,\frac{3}{5}} \right)$ và $\left( {\frac{2}{3};\,\frac{1}{3}} \right)$