5 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách. (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{{n}_{BH}}(1;-1)$

Đường cao BH vuông góc với AC nên đường thẳng AC nhận $\overrightarrow{{n}_{BH}}(1;-1)$làm vectơ chỉ phương hay nhận $\overrightarrow{{n}_{AC}}(1;1)$làm vectơ pháp tuyến.

Do đó phương đường thẳng AC đi qua điểm C(–1; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{n}_{AC}}(1;1)$ là: 1(x + 1) + 1(y – 2) = 0 ⇔ x + y – 1 = 0.

Điểm A là giao điểm của hai đường thẳng AC và AN nên toạ độ điểm A thoả mãn hệ phương trình sau:

$\{\begin{matrix}x+y\ -1\ =\ 0 \\ 2x-y+5\ =\ 0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=\frac{-4}{3} \\ y=\frac{7}{3}\end{matrix}\Leftrightarrow A(\frac{-4}{3};\frac{7}{3})$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi A là giao điểm của đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ nên toạ độ điểm A thoả mãn:

$\{\begin{matrix}2x+y-1=0 \\ x+2y+1=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=1 \\ y=-1\end{matrix}$⇒ A(1; –1)

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi d$_{3}$ cũng đi qua điểm A hay A ∈ d$_{3}$

⇒ m.1 – (–1) – 7 = 0

⇔ m = 6.

Vậy với m = 6 thì ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$

Ta có: vectơ pháp tuyến của đường thẳng d$_{1}$ là: $\overrightarrow{{n}_{1}}$(3; 4)

Đường thẳng d$_{2}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{u}_{2}}(a;-2)$ ⇒ vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{n}_{2}}$(2; a)

Theo giả thiết ta có:

cos α = $\frac{|3.2+4a|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}.\sqrt{{2}^{2}+{a}^{2}}}$= cos 45$^{°}$= $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇔ $\frac{|6+4a|}{5.\sqrt{4+{a}^{2}}}$= $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇔ $\sqrt{2}.|6+4a|=5.\sqrt{4+{a}^{2}}$

⇒ 8(3 + 2a)$^{2}$ = 25.(a$^{2}$ + 4)

⇔ 8(9 + 12a + 4a$^{2}$) = 25a$^{2}$ + 100

⇔ 32a$^{2}$ + 96a + 72 = 25a$^{2}$ + 100

⇔ 7a$^{2}$ + 96a – 28 = 0

⇒$[\begin{matrix}a=\frac{2}{7} \\ a=-14\end{matrix}$

Vậy với a = $\frac{2}{7}$ hoặc a = −14 thì góc giữa hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ bằng 45$^{°}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì AC ∩ AB = A nên toạ độ điểm A thoả mãn hệ phương trình sau:

$\{\begin{matrix}3x-y+4=0 \\ x+2y-4=0\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}x=\frac{-4}{7} \\ y=\frac{16}{7}\end{matrix}\Rightarrow A(\frac{-4}{7};\frac{16}{7})$

Tương tự ta có: B$(\frac{-10}{11};\frac{14}{11})$ và C (−8; 6)

Ta có: S$_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$.d(A; BC).BC

= $\frac{1}{2}.\frac{|2.\frac{-4}{7}+3.\frac{16}{7}-2|}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}}.\sqrt{{(-8+\frac{10}{11})}^{2}+{(6-\frac{14}{11})}^{2}}$

= $\frac{1}{2}.\frac{26}{7\sqrt{13}}.\sqrt{{(\frac{-78}{11})}^{2}+{(\frac{52}{11})}^{2}}$

= $\frac{13}{7\sqrt{13}}.\frac{26\sqrt{13}}{11}$ = $\frac{338}{77}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\overrightarrow{BC}=(-2;1)$⇒ BC = $\sqrt{{(-2)}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$

$\overrightarrow{AB}=(0;-1)$⇒ AB = $\sqrt{{0}^{2}+{(-1)}^{2}}=1$;

$\overrightarrow{AC}=(-2;0)$⇒ AC = $\sqrt{{(-2)}^{2}+{0}^{2}}=2$.

Đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{BC}$ là một vectơ chỉ phương , do đó đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;2)$ và đi qua điểm C(0; -1).

Khi đó phương trình đường thẳng BC là: x + 2(y + 1) = 0 hay x + 2y + 2 = 0

⇒ d(A; BC) = $\frac{|2+2.(-1)+2|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$= $\frac{2}{\sqrt{5}}$

⇒ S$_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$.d(A; BC) . BC = $\frac{1}{2}.\frac{2}{\sqrt{5}}.\sqrt{5}$= 1 (đvdt)

Mặt khác, ta có: S$_{ABC}$ = p.r

Do đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

r = $\frac{{S}_{ABC}}{p}$= $\frac{1}{(\frac{1+2+\sqrt{5}}{2})}$ = $\frac{2}{3+\sqrt{5}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$