5 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Mệnh đề (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2.

⇒ n(n+1)(n+2)

Với n = 2k ⇒ 2k(2k+1)(2k+2) chia hết 2

Với n = 2k+1 ⇒ (2k+1)(2k+2)(2k+3) = (2k+1).2(k+1)(2k+3) chia hết 2

⇒ n(n+1)(n+2) chia hết 2 (1)

Với n = 3k ⇒ 3k(3k+1)(3k+2) chia hết 3

Với n = 3k + 1 ⇒ (3k + 1)(3k + 2).3(k + 1) chia hết cho 3

Với n = 3k + 2 ⇒ (3k + 2)(3k + 3)(3k + 4) chia hết 3

⇒ n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6.

Do đó mệnh đề P đúng.

Ta có:

"Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6"

⟺ P: "∀n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) ⋮ 6".

Ta lại có:

+ Phủ định của "∀" là "∃".

+ Phủ định của ⋮ là .

Do đó mệnh đề của định của P là:

$\overline{P}$: "∃n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) 6".

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số giá trị nguyên để mệnh đề P(x) là mệnh đề đúng chính là số nghiệm nguyên của phương trình |x$^{2}$ – 2x – 3| = x$^{2}$ + |2x + 3| (1).

+ Nếu x ≥ $-\frac{3}{2}$ thì ta có:

(1) ⟺ |x$^{2}$ – 2x – 3| = x$^{2}$ + |2x + 3| ⇔ $[\begin{matrix}{x}^{2}-\ 2x\ -\ 3\ =\ {x}^{2}+\ 2x\ +\ 3 \\ -{x}^{2}\text{+}2x\text{+}3\ =\ {x}^{2}+\ 2x\ +\ 3\end{matrix}$ ⇔ $[\begin{matrix}x=-\frac{3}{2} \\ x=0\end{matrix}$ .Mà x ∈ ℤ và x ∈ [-2020; 2021] nên x = 0 thỏa mãn.

+ Nếu x < $-\frac{3}{2}$ thì ta có (1) ⟺ |x$^{2}$ – 2x – 3| = x$^{2}$ – 2x – 3. Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối, kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của (1) trong trường hợp này:

(1)$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}^{2}-\ 2x\ -\ 3\ge 0 \\ x<-\frac{3}{2}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}[\begin{matrix}x\le -1 \\ x\ge 3\end{matrix} \\ x<-\frac{3}{2}\end{matrix}\Leftrightarrow x<-\frac{3}{2}$

Mà x ∈ [-2020;2021] nên x ∈ {-2; -3; …; -2020}.

Do đó tập nghiệm của phương trình là S = {0; -2; -3; …; -2020}.

Vậy có 2020 số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:

+ Với n = 1 ⇒ n(n + 1) = 2 không phải là số chính phương ⇒ A sai.

+ Với n = 1 ⇒ n(n + 1) = 2 là số chẵn ⇒ B sai.

Đặt P = n(n + 1)(n + 2)

TH1: n chẵn ⇒ P chẵn

TH2: n lẻ ⇒ (n + 1) chẵn ⇒ P chẵn

Vậy P chẵn ∀n ∈ ℕ ⇒ C sai.

Ta có một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi số đó chia hết cho cả 2 và 3.

⟹ P ⋮ 6 ⟺ $\{\begin{matrix}P⋮2(*) \\ P⋮3(**)\end{matrix}$

(*) Ở trên ta đã chứng minh P luôn chẵn ⇒ P ⋮ 2

(**) P ⋮ 3

TH1: n ⋮ 3 ⇒ P ⋮ 3

TH2: n chia 3 dư 1 ⇒ (n + 2) ⋮ 3 ⇒ P ⋮ 3

TH3: n chia 3 dư 2 ⇒ (n + 1) ⋮ 3 ⇒ P ⋮ 3

Vậy P ⋮ 3, ∀n ∈ ℕ.

⇒ P ⋮ 6.

Do đó mệnh đề ở câu D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

A. Với mọi số tự nhiên, ta có các trường hợp sau:

+ n = 3k ⇒ n$^{2}$ + 1 = (3k)$^{2}$ + 1 chia 3 dư 1.

+ n = 3k + 1 ⇒ n$^{2}$ + 1 = (3k + 1)$^{2}$ + 1 = 9k$^{2}$ + 6k + 2 chia 3 dư 2.

+ n = 3k + 2 ⇒ n$^{2}$ + 1 = (3k + 2)$^{2}$ + 1 = 9k$^{2}$ + 12k + 3 + 2 chia 3 dư 2.

Vậy mệnh đề “∀n ∈ ℕ, n$^{2}$ + 1 không chia hết cho 3” là mệnh đề đúng.

B. Với n = -4 < 3, ta có |-4| = 4 > 3.

Do đó mệnh đề ở câu B sai.

C. Với n = 2 ta có:

(2 – 1)$^{2}$ = 2 – 1 = 1.

Do đó mệnh đề ở câu C sai.

D. Với n = 1, ta có 1$^{2}$ + 1 = 2 không chia hết cho 4.

Do đó mệnh đề ở câu D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét mệnh đề “Nếu x là một số nguyên tố lớn hơn 3 thì x$^{2}$ + 20 là một hợp số” ta có:

P: “x là một số nguyên tố lớn hơn 3”.

Q: “x$^{2}$ + 20 là một hợp số”.

Ta thấy mệnh đề trên có dạng P ⇒ Q có thể được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ như sau:

+ Điều kiện cần để có P là Q.

+ Điều kiện đủ để có Q là P.

Do đó định lý đã cho được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ lần lượt là:

+ Điều kiện cần để x là một số nguyên tố lớn hơn 3 là x$^{2}$ + 20 là một hợp số.

+ Điều kiện đủ để x$^{2}$ + 20 là một hợp số là x là một số nguyên tố lớn hơn 3.

Đối chiếu với các đáp án trên, ta thấy mệnh đề ở đáp án B là một cách viết khác của mệnh đề đã cho.