5 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Dấu của tam thức bậc hai (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét f(x) = (m – 3)x$^{2}$ + (m + 3)x – (m + 1).

Ta có:

∆ = (m + 3)$^{2}$ – 4.(m – 3).[–(m + 1)]

= m$^{2}$ + 6m + 9 + 4.(m – 3)(m + 1)

= m$^{2}$ + 6m + 9 + 4(m$^{2}$ – 2m – 3)

= 5m$^{2}$ – 2m – 3.

Ta có f(x) là một tam thức bậc hai và có nghiệm kép khi và chỉ khi a ≠ 0 và ∆ = 0.

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}m-3\ne 0 \\ 5{m}^{2}-2m-3=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}m\ne 3 \\ (m-1)(5m+3)=0\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}m\ne 3 \\ [\begin{matrix}m-1=0 \\ 5m+3=0\end{matrix}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}m\ne 3 \\ [\begin{matrix}m=1 \\ m=-\frac{3}{5}\end{matrix}\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}m=1 \\ m=-\frac{3}{5}\end{matrix}$

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét f(x) = x$^{2}$ + 2(m – 1)x + m$^{2}$ – 3m + 4.

Ta có:

∆’ = (m – 1)$^{2}$ – 1.(m$^{2}$ – 3m + 4)

= m$^{2}$ – 2m + 1 – m$^{2}$ + 3m – 4

= m – 3.

Yêu cầu bài toán ⇔ Tìm m để f(x) ≥ 0 với mọi giá trị của x.

Ta có f(x) ≥ 0, với mọi giá trị của x.

⇔ a > 0 và ∆’ ≤ 0.

⇔ 1 > 0 (luôn đúng) và m – 3 ≤ 0.

⇔ m ≤ 3.

Vậy m ≤ 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nếu m = 0 ta có f(x) = –1 < 0 khi đó f(x) ≥ 0 vô nghiệm.

Do đó m = 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Nếu m ≠ 0 thì f(x) = mx$^{2}$ – 2mx + m – 1 là tam thức bậc hai.

Ta có:

∆’ = (–m)$^{2}$ – m.(m – 1)

= m$^{2}$ – m$^{2}$ + m

= m.

Ta có f(x) ≥ 0 vô nghiệm. Nghĩa là, f(x) < 0, với mọi giá trị của x.

⇔ a < 0 và ∆’ < 0

⇔ m < 0 và m < 0

⇔ m < 0.

Vậy m ≤ 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét f(x) = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0):

⦁ Ta có đồ thị đi qua điểm (0; 1) nên f(0) = 1.

Khi đó a.0$^{2}$ + b.0 + c = 1.

Vì vậy c = 1.

⦁ Ta có đồ thị đi qua điểm (1; –2) nên f(1) = –2.

Khi đó a.1$^{2}$ + b.1 + c = –2.

Vì vậy a + b + c = –2 (1)

Thế c = 1 vào (1) ta được a + b + 1 = –2.

Do đó a = –b – 3.

⦁ Ta có đồ thị đi qua điểm (3; 5) nên f(3) = 5.

Khi đó a.3$^{2}$ + b.3 + c = 5.

Vì vậy 9a + 3b + c = 5 (2)

Thế c = 1 và a = –b – 3 vào (2) ta được 9(–b – 3) + 3b + 1 = 0.

Suy ra –9b – 27 + 3b + 1 = 0.

Do đó –6b – 26 = 0.

Vì vậy $b=-\frac{13}{3}$.

Với $b=-\frac{13}{3}$, ta có a = –b – 3 = $\frac{13}{3}-3=\frac{4}{3}$ > 0.

Vậy ta có tam thức bậc hai $f(x)=\frac{4}{3}{x}^{2}-\frac{13}{3}x+1$.

Ta có ∆ = ${(-\frac{13}{3})}^{2}-4.\frac{4}{3}.1=\frac{121}{9}$ > 0.

Suy ra f(x) có 2 nghiệm phân biệt là:

${x}_{1}=\frac{\frac{13}{3}+\sqrt{\frac{121}{9}}}{2.\frac{4}{3}}=3;\ {x}_{2}=\frac{\frac{13}{3}-\sqrt{\frac{121}{9}}}{2.\frac{4}{3}}=\frac{1}{4}$

Ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:

Vậy f(x) âm trong khoảng $(\frac{1}{4};3)$ và f(x) dương trong hai khoảng $(-\infty ;\frac{1}{4})$ và (3; +∞).

Ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

f(x) = mx$^{2}$ + 2(m + 1)x + m – 2 là tam thức bậc hai ⇔ a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0.

Ta có:

∆’ = (m + 1)$^{2}$ – m(m – 2)

= m$^{2}$ + 2m + 1 – m$^{2}$ + 2m

= 4m + 1.

Trường hợp 1: a > 0 ⇔ m > 0.

Khi đó f(x) > 0 có nghiệm với mọi x.

Do đó m > 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Trường hợp 2: a < 0 ⇔ m < 0.

Khi đó để f(x) > 0 có nghiệm thì ∆ > 0.

⇔ 4m + 1 > 0.

⇔ $m>-\frac{1}{4}$.

Kết hợp m < 0 ta có $-\frac{1}{4}<m<0$.

Kết hợp cả 2 trường hợp, ta thu được kết quả m ∈ $(-\frac{1}{4};+\infty )\backslash \{0\}$.

Vậy m ∈ $(-\frac{1}{4};+\infty )\backslash \{0\}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta chọn phương án C.