5 bài tập Tọa độ của điểm, vectơ (có lời giải)

Ta có: $\overrightarrow {OA} = 4\vec i + 0\vec j + 0\vec k$, suy ra $A(4;0;0)$;

$\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = 4\vec i + 6\vec j + 0\vec k{\rm{, suy ra }}B(4;6;0);$

${\rm{ }}\overrightarrow {O{B^\prime }} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {O{O^\prime }} = 4\vec i + 6\vec j + 3\vec k{\rm{, suy ra }}{B^\prime }(4;6;3)$

Vì $\overrightarrow {OB}$ và $\vec i$ cùng hướng và ${\rm{OB}} = 5$ nên $\overrightarrow {OB} = 5\vec i$.

Tương tự, ta có $\overrightarrow {OD} = 5\vec j;\overrightarrow {O{A^\prime }} = 5\vec k$.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = 5\vec i + 5\vec j$.

Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {O{A^\prime }} = 5\vec i + 5\vec j + 5\vec k$.

Do đó ${\rm{B}}(5;0;0),{\rm{C}}(5;5;0),{{\rm{C}}^\prime }(5;5;5)$.

Ta cần tìm toạ độ các đỉnh $O,C,{B^\prime },{C^\prime },{D^\prime }$.

- Toạ độ đỉnh $O$ là $(0;0;0)$.

- Theo giả thiết, ta có $\overrightarrow {OB} = 2\vec i,\overrightarrow {OD} = \vec j,\overrightarrow {O{O^\prime }} = \vec k$.

Suy ra:

$\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = 2\vec i + \vec j;\overrightarrow {O{B^\prime }} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {O{O^\prime }} = 2\vec i + \vec k;$

$\overrightarrow {O{C^\prime }} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {O{O^\prime }} = 2\vec i + \vec j + \vec k;{\rm{ }}\overrightarrow {O{D^\prime }} = \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {O{O^\prime }} = \vec j + \vec k.$

Vậy $C(2;1;0),{B^\prime }(2;0;1),{C^\prime }(2;1;1),{D^\prime }(0;1;1)$.

Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB}$, ta cần biểu diễn $\overrightarrow {AB}$ theo ba vectơ $\vec i,\vec j,\vec k$.

Do $\overrightarrow {AB}$ cùng hướng với $\vec i$ và $|\overrightarrow {AB} | = AB = 8 = 8|\vec i|$ nên $\overrightarrow {AB} = 8\vec i$ hay $\overrightarrow {AB} = 8\vec i + 0\vec j + 0\vec k$.

Tương tự, ta cũng có: $\overrightarrow {AD} = 0\vec i + 6\vec j + 0\vec k,\overrightarrow {A{A^\prime }} = 0\vec i + 0\vec j + 4\vec k$.

Trong hình bình hành ABCD, ta có: $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 8\vec i + 6\vec j + 0\vec k$.

Trong hình bình hành $A{A^\prime }{C^\prime }C$, ta có: $\overrightarrow {A{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A^\prime }} = 8\vec i + 6\vec j + 4\vec k$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} = (8;0;0);\overrightarrow {AC} = (8;6;0);\overrightarrow {A{C^\prime }} = (8;6;4)$.

${\rm{V`i }}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A{C^\prime }} + \overrightarrow {A{D^\prime }} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A{C^\prime }} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A^\prime }} } \right) = \frac{1}{2}(8\vec i + 6\vec j + 4\vec k + 6\vec j + 4\vec k) = 4\vec i + 6\vec j + 4\vec k$ ${\rm{n^e n }}\overrightarrow {AM} = (4;6;4).$

Ba vectơ đơn vị trên ba trục tọa độ lần lượt là $\vec i,\vec j,\vec k$ với độ dài của $\vec i,\vec j,\vec k$ lần lượt bằng $\frac{1}{2}AB,\frac{1}{2}AD,\frac{1}{3}AS$

b) Ta có: $\overrightarrow {AB} = 2\vec i;\overrightarrow {AD} = 2\vec j;\overrightarrow {AS} = 3\vec k$.

Do đó $\overrightarrow {AB} = (2;0;0),\overrightarrow {AD} = (0;2;0),\overrightarrow {AS} = (0;0;3)$.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 2\vec i + 2\vec j$.

Vì ${\rm{M}}$ là trung diếm của SC nên $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AS} ) = \frac{1}{2}(2\vec i + 2\vec j + 3\vec k) = \vec i + \vec j + \frac{3}{2}\vec k$.

Do đó $\overrightarrow {AM} = \left( {1;1;\frac{3}{2}} \right)$.