5 bài tập Tính độ dài các cung tròn. Diện tích các hình (có lời giải)

$A,B$ là hai điểm trên $\left( O \right)$ nên sẽ có hai cung.

Cung nhỏ $AB$ bị chắn bởi góc ở tâm $AOB$

$\text{sđ}\overset{\frown}{AB}=\widehat{AOB}=100^{\circ}.$

Do đó độ dài của cung nhỏ $AB$ là:

$l = \frac{{100}}{{180}} \cdot \pi \cdot 8 = \frac{{40}}{9}\pi \left( {{\rm{cm}}} \right)$

Cung lớn $AnB$ có số đo:

$\text{sđ}\overset{\frown}{AnB}=360^{\circ}-100^{\circ}=260^{\circ}$

Do đó độ dài của cung lớn là:

$l = \frac{{260}}{{180}} \cdot \pi \cdot 8 = \frac{{104}}{9}\pi \left( {{\rm{cm}}} \right).$

Ta có: $n = 90^\circ$ và $R = 4{\rm{\;cm}}$.

Do đó độ dài cung: $l = \frac{{90}}{{180}} \cdot \pi \cdot 6 = 3\pi \left( {{\rm{cm}}} \right).$

Ta có: $n = 90^\circ$ và $R = 6{\rm{\;cm}}$.

Do đó độ dài cung: ${{\rm{S}}_{\rm{q}}} = \frac{{36}}{{360}} \cdot \pi \cdot {4^2} = 1{,}6\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

a) Ta có: $\widehat {AOB} = 90^\circ$ nên . Do đó: ${{\rm{S}}_{\rm{q}}} = \frac{{90}}{{360}} \cdot \pi \cdot {12^2} = 36\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

b) Ta có: ${{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}} = {{\rm{S}}_{\rm{q}}} - {{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}}\left( {{{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}}} \right.$ là diện tích hình viên phân; ${{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}}$ là diện tích tam giác $AOB$ ).

${S_{AOB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$

Vậy ${S_{{\rm{vp}}}} = 36\pi - 72 \approx 41{,}0\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Gọi ${{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}}$ là diện tích hình viên phân, ${{\rm{S}}_{\rm{q}}}$ là diện tích hình quạt và ${{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}}$ là diện tích tam giác $AOB$.

Ta có: ${{\rm{S}}_{\rm{q}}} = \frac{{60}}{{360}} \cdot \pi \cdot {(5{,}1)^2} \approx 13{,}62\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Xét cân tại $O\left( {OA = OB = R} \right)$ có $\widehat {AOB} = 60^\circ$ nên tam giác $AOB$ đều.

Do đó ${{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}} = \frac{{{{\rm{R}}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{(5{,}1)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} \approx 11{,}26\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$

Do đó ${{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}} = {{\rm{S}}_{\rm{q}}} - {{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}} = 13{,}62 - 11{,}26 \approx 2{,}63\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.