5 bài tập Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số (có lời giải)

e) $\left\{ \begin{array}{l}0{,}3x + 0{,}5y = 3\\1{,}5x - 2y = 1{,}5\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1{,}2x + 2y = 12\\1{,}5x - 2y = 1{,}5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1{,}2x + 2y = 12\\2{,}7x = 13{,}5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 3\end{array} \right.\end{array}$

Hệ có nghiệm duy nhất $\left( {5\,,\,3} \right)$

a) Nhân phương trình thứ nhất với $- \sqrt 2$, ta được:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - 3y = 1\\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 3\sqrt 2 y = - \sqrt 2 \\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right.\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{l} - 4\sqrt 2 y = - \sqrt 2 - 2\\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}y\\y = \frac{{ - 1 - \sqrt 2 }}{4}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{4} + \frac{{\sqrt 2 }}{8}\\y = - \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\end{array} \right.\end{array}$

Hệ có nghiệm duy nhất $\left( { - \frac{3}{4} + \frac{{\sqrt 2 }}{8};\, - \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)$

b) Nhân phương trình thứ nhất với $\sqrt 2$ rồi cộng từng vế hai phương trình, ta được:

$5x\sqrt 6 + x\sqrt 6 = 6$ hay $x = \frac{1}{{\sqrt 6 }}$

Từ đó, hệ đã cho tương đương với

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\\y = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array}$$

Hệ có nghiệm duy nhất $\left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}\,;\, - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)$

a) $\left\{ \begin{array}{l} - 5{\rm{x}} + 2y = 4\\6{\rm{x}} - 3y = - 7\end{array} \right.$

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 15x + 6y = 12\\12x - 6y = - 14\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - 15x + 6y = 12\\ - 3x = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\y = \frac{{11}}{3}\end{array} \right.\end{array}$$

Hệ có nghiệm duy nhất $\left( {\frac{2}{3};\,\frac{{11}}{3}} \right)$

b) $\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 11\\ - 4x + 6y = 5\end{array} \right.$

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4x - 6y = 22\\ - 4x + 6y = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4x - 6y = 22\\0x + 0y = 27\end{array} \right.\end{array}$$

Hệ vô nghiệm

c) $\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 10\\x - \frac{2}{3}y = 3\frac{1}{3}\end{array} \right.$

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 10\\x - \frac{2}{3}y = 3\frac{1}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 10\\3x - 2y = 10\end{array} \right.\\3x - 2y = 10\\y = \frac{1}{2}\left( {3x - 10} \right)\end{array}$$

Hệ có vố số nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{2}\left( {3x - 10} \right)\\x \in \mathbb{R}\end{array} \right.$

Lấy (1) trừ (2) ta được: $- 2\sqrt 2 y = 2$ hay $y = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Thay $y = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ vào (1), ta được: $\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x - \left( {1 - \sqrt 2 } \right).\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 5$ nên $x = \frac{{ - 6 + 7\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left( {\frac{{ - 6 + 7\sqrt 2 }}{2};\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$

$P\left( x \right)$ bằng đa thức 0 (viết là $P\left( x \right) = 0$)

$$\left\{ \begin{array}{l}3m - 5n + 1 = 0\\4m - n - 10 = 0\end{array} \right.$$

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3m - 5n = - 1\\4m - n = 10\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3m - 5n = - 1\\ - 20m + 5n = 50\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3m - 5n = - 1\\ - 17m = - 51\end{array} \right.\end{array}$$

$$\left\{ \begin{array}{l}m = 3\\n = 2\end{array} \right.$$

Vậy với $m = 3$, $\,n = 2$ thì $P\left( x \right) = 0$.