5 bài tập Chứng minh bất đå̉ng thức (có lời giải)

Ví dụ 1. Chứng minh bất đẳng thức ${{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} \ge 2{\rm{ab}}$.

Do đó $\frac{{{a^2} + {b^2} - 2ab}}{{ab}} \ge 0$ hay $\frac{{{{(a - b)}^2}}}{{ab}} \ge 0$.

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${\rm{a}} = {\rm{b}}$).

Ta có $a > b > 0$ nên $ab > 0$, do đó $\frac{1}{{ab}} > 0$.

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức ${\rm{a}} > {\rm{b}}$ với số dương $\frac{1}{{{\rm{ab}}}}$ ta được : a. $\frac{1}{{ab}} > b \cdot \frac{1}{{ab}}$ hay $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$. Do đó $\frac{1}{{\rm{a}}} < \frac{1}{{\;{\rm{b}}}}$.

Ta có $a > b$. Cộng $m$ vào hai vế ta được $a+m>b+m(1)$

Ta có ${\rm{m}} > {\rm{n}}$. Cộng b vào hai vế ta được: $b+m>b+n(2)$

Từ (1) và (2) suy ra : ${\rm{a}} + {\rm{m}} > {\rm{b}} + {\rm{n}}$ (tính chất bắc cầu)

Xét vế trái :$T = \frac{{a + b}}{c} + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b}$$= \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b}$$= \left( {\frac{{\rm{a}}}{{\rm{c}}} + \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}}} \right) + \left( {\frac{{\rm{b}}}{{\rm{c}}} + \frac{{\rm{c}}}{{\rm{b}}}} \right) + \left( {\frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} + \frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}} \right).$

${\rm{T}} \ge 2 + 2 + 2$ (Áp dụng kết quả ở ví dụ 2) $\Leftrightarrow {\rm{T}} \ge 6.{\rm{ }}$ (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${\rm{a}} = {\rm{b}} = {\rm{c )}}{\rm{. }}$