Ngân hàng đề / … / Lớp 12 / Toán / Toán 12 – Chân trời sáng tạo / Phần Một số yếu tố giải tích / Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Nội dung đề
Phần I. Tự luận
Cho hàm số y = x + 1 x \frac{{x + 1}}{x} x x + 1
a) Quan sát đồ thị, hãy cho biết tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho và giải thích?
b) Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = 1 tại điểm N (Hình vẽ). Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → +∞ hoặc x → −∞.
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
a) Tiệm cận ngang: y = 1 y = 1 y = 1 lim x → + ∞ x + 1 x = lim x → + ∞ 1 + 1 x 1 = 1 ; lim x → − ∞ x + 1 x = lim x → − ∞ 1 + 1 x 1 = 1 \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{1} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{1} = 1 x → + ∞ lim x x + 1 = x → + ∞ lim 1 1 + x 1 = 1 ; x → − ∞ lim x x + 1 = x → − ∞ lim 1 1 + x 1 = 1
b) Ta có M N = ∣ f ( x ) − 1 ∣ = ∣ x + 1 x − 1 ∣ = ∣ 1 x ∣ MN = |f(x) - 1| = \left| {\frac{{x + 1}}{x} - 1} \right| = \left| {\frac{1}{x}} \right| MN = ∣ f ( x ) − 1∣ = x x + 1 − 1 = x 1 lim x → + ∞ ∣ 1 x ∣ = 0 ; lim x → − ∞ ∣ 1 x ∣ = 0. \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left| {\frac{1}{x}} \right| = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left| {\frac{1}{x}} \right| = 0. x → + ∞ lim x 1 = 0 ; x → − ∞ lim x 1 = 0.
Nhận xét MN tiến dần về 0 khi khi x → + ∞ x \to + \infty x → + ∞ x → − ∞ x \to - \infty x → − ∞
Đồ thị của hàm số y = − 2 x + 1 x + 1 \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}} x + 1 − 2 x + 1
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
TXĐ: D = R \ { − 1 } D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\} D = R \ { − 1 }
Ta có: lim x → + ∞ − 2 x + 1 x + 1 = lim x → + ∞ − 2 + 1 x 1 + 1 x = − 2 ; lim x → − ∞ − 2 x + 1 x + 1 = lim x → − ∞ − 2 + 1 x 1 + 1 x = − 2 \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2 + \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = - 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2 + \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = - 2 x → + ∞ lim x + 1 − 2 x + 1 = x → + ∞ lim 1 + x 1 − 2 + x 1 = − 2 ; x → − ∞ lim x + 1 − 2 x + 1 = x → − ∞ lim 1 + x 1 − 2 + x 1 = − 2
Vậy đường thẳng y = − 2 y = - 2 y = − 2
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:
a) f (x) = x − 1 4 x + 1 \frac{{x - 1}}{{4x + 1}} 4 x + 1 x − 1
b) g(x) = x x + 2 \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} x + 2 x
c) h(x) = − 3 x − 1 x + 1 \frac{{ - 3x - 1}}{{x + 1}} x + 1 − 3 x − 1
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
a)lim x → + ∞ f ( x ) = lim x → + ∞ x − 1 4 x + 1 = lim x → + ∞ 1 − 1 x 4 + 1 x = 1 4 ; lim x → − ∞ f ( x ) = lim x → − ∞ x − 1 4 x + 1 = lim x → − ∞ 1 − 1 x 4 + 1 x = 1 4 . \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{4x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{4 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{4};{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 1}}{{4x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{4 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{4}. x → + ∞ lim f ( x ) = x → + ∞ lim 4 x + 1 x − 1 = x → + ∞ lim 4 + x 1 1 − x 1 = 4 1 ; x → − ∞ lim f ( x ) = x → − ∞ lim 4 x + 1 x − 1 = x → − ∞ lim 4 + x 1 1 − x 1 = 4 1 .
Vậy y = 1 4 y = \frac{1}{4} y = 4 1
b) lim x → + ∞ g ( x ) = lim x → + ∞ x x + 2 = lim x → + ∞ 1 1 + 2 x = 1 ; lim x → − ∞ g ( x ) = lim x → − ∞ x x + 2 = lim x → − ∞ 1 1 + 2 x = 1. \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{1 + \frac{2}{{\sqrt x }}}} = 1;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{1 + \frac{2}{{\sqrt x }}}} = 1. x → + ∞ lim g ( x ) = x → + ∞ lim x + 2 x = x → + ∞ lim 1 + x 2 1 = 1 ; x → − ∞ lim g ( x ) = x → − ∞ lim x + 2 x = x → − ∞ lim 1 + x 2 1 = 1.
Vậy y = 1 {\rm{y}} = 1 y = 1
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây và giải thích?
a) y = 2 x − 3 5 x 2 − 15 x + 10 y = \frac{{2x - 3}}{{5{x^2} - 15x + 10}} y = 5 x 2 − 15 x + 10 2 x − 3
b) y = x 2 + x − 1 x y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{x} y = x x 2 + x − 1
c) y = 16 x 2 − 8 x 16 x 2 + 1 y = \frac{{16{x^2} - 8x}}{{16{x^2} + 1}} y = 16 x 2 + 1 16 x 2 − 8 x
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
a) Dựa vào đồ thị ta có:
x = 1 ; x = 2 {\rm{x}} = 1;{\rm{x}} = 2 x = 1 ; x = 2
y = 0 {\rm{y}} = 0 y = 0
b) Dựa vào đồ thị ta có:
x = 0 {\rm{x}} = 0 x = 0
y = x + 1 {\rm{y}} = {\rm{x}} + 1 y = x + 1
c) Dựa vào đồ thị ta có: y = 1 {\rm{y}} = 1 y = 1
Tất cả đề Đường tiệm cận của đồ thị hàm số · Các bộ sách Toán Lớp 12
