3 câu Trắc nghiệm Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có đáp án (Vận dụng)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có CI = $\frac{1}{2}$AB (giả thiết), IA = IB (vì I là trung điểm của AB).

Nên AI = BI = CI

Xét DIBC có IB = IC nên tam giác IBC cân tại I.

Suy ra $\widehat {ICB} = \widehat {IBC}$

Xét DIAC có IA = IC nên tam giác IAC cân tại I

Suy ra $\widehat {ICA} = \widehat {IAC}$

Xét DABC có $\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Hay $\widehat {IBC} + \widehat {IAC} + \widehat {ICB} + \widehat {ICA} = 180^\circ$

Mà $\widehat {ICB} = \widehat {IBC}$,$\widehat {ICA} = \widehat {IAC}$ (chứng minh trên)

Suy ra $2(\widehat {ICB} + \widehat {ACI}) = 180^\circ$

Do đó $\widehat {ACB} = 180^\circ :2 = 90^\circ$

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

• Vì D là trung điểm của AC nên AD = DC = $\frac{1}{2}$AC.

Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB = $\frac{1}{2}$AB.

Mà AB = AC (do DABC cân tại A)

Suy ra AE = AD = BE = CD. Do đó phương án C là đúng.

• Xét DEBC và DDCB có:

BE = CD (chứng minh trên),

$\widehat {DCB} = \widehat {EBC}$(do DABC cân tại A),

BC là cạnh chung

Do đó DEBC = DDCB (c.g.c)

Suy ra EC = BD (hai cạnh tương ứng)

Xét DABC có trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra EG = $\frac{1}{3}$CE và GD = $\frac{1}{3}$BD

Mà BD = EC (chứng minh trên) nên EG = $\frac{1}{3}$BD hay BD = 3EG

Do đó phương án D là đúng.

• Ta có EG = $\frac{1}{3}$CE và GD = $\frac{1}{3}$BD

Mà BD = EC nên EG = GD.

Suy ra G nằm trên đường trung trực của ED.

Lại có AE = AD nên A cũng nằm trên đường trung trực của ED.

Do đó AG là đường trung trực của ED nên phương án A là đúng.

• Xét DBCG, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:

BG + CG > BC

Suy ra $\frac{1}{2}$BG + $\frac{1}{2}$CG > $\frac{1}{2}$BC

Mà GD = $\frac{1}{2}$BG, GE = $\frac{1}{2}$CG (do G là trọng tâm tam giác ABC).

Do đó GD + GE > $\frac{1}{2}$BC nên phương án B là sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Ta xét (I):

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên ta có $GB = \frac{2}{3}BE$ và $GC = \frac{2}{3}CF$.

∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).

Suy ra $\frac{2}{3}BE + \frac{2}{3}CF > BC$.

Hay $\frac{2}{3}\left( {BE + CF} \right) > BC$.

Do đó $BE + CF > \frac{3}{2}BC$ (1).

Chứng minh tương tự ta được:

+) $AD + BE > \frac{3}{2}AB$ (2).

+) $AD + CF > \frac{3}{2}AC$ (3).

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được:

$2AD + 2BE + 2CF > \frac{3}{2}AB + \frac{3}{2}BC + \frac{3}{2}AC$.

Suy ra $2\left( {AD + BE + CF} \right) > \frac{3}{2}\left( {AB + BC + AC} \right)$.

Do đó $AD + BE + CF > \frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right)$.

Vậy (I) đúng.

• Ta xét (II):

Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.

Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:

DA = DA’,

$\widehat {ADB} = \widehat {A'DC}$ (hai góc đối đỉnh),

BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC),

Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).

Suy ra AB = A’C (hai cạnh tương ứng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được:

AA’ < AC + A’C.

Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB (4).

Chứng minh tương tự, ta được:

+) 2BE < AB + BC (5).

+) 2CF < AC + BC (6).

Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được:

2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.

Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).

Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.

Vậy (II) đúng.

Kết luận: cả (I) và (II) đều đúng.

Ta chọn phương án C.