3 bài tập toán thực tế (có lời giải)

Xem hình vẽ.

Ta có $MA = MB$(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$MA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$

$\Rightarrow MA \bot OA$ hay tam giác $OAM$ vuông tại $A$.

Theo định lí Pythagore, ta có:

$M{O^2} = M{A^2} + O{A^2} \Rightarrow M{A^2} = M{O^2} - O{A^2} = {35^2} - {15^2}$

$\Rightarrow MA = \sqrt {{{35}^2} - {{15}^2}} \approx 31{,}6\left( {cm} \right)$

Vậy $MA = MB \approx 31{,}6cm$.

Tam giác vuông $OAM$ có cạnh huyên $MO = 35cm$, cạnh góc vuông $OA = 15cm.$

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$OA = OM.\sin \widehat {AMO}$

$\Rightarrow \sin \widehat {AMO} = \frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{15}}{{35}} \Rightarrow \widehat {AMO} = 25^\circ 23'.$

Vì $MO$là tia phân giác của góc $AMB$

$\Rightarrow AMB = 2.25^\circ 23' = 50^\circ 46'$

Xét tứ giác $MAOB$, ta có:

$\widehat {AOB} = {360^0} - \left( {\widehat {MAO} + \widehat {MBO} + \widehat {AMB}} \right)$

$\widehat {AOB} = 360^\circ - \left( {90^\circ + 90^\circ + 50^\circ 46'} \right) = 129^\circ 32'$

Đổi: $h = 20m = 0{,}02km$

Vì $AB$là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;\,\,6\,400\,\,{\rm{km}}} \right)$ nên $AB \bot OB$.

Tam giác $ABO$ vuông tại $B$, có cạnh huyền $OA = R + h$ và cạnh góc vuông $OB = R$. Trong đó $R = 6\,400\,\,{\rm{km}}$.

Theo định lí Pythagore, ta có:

$O{A^2} = O{B^2} + A{B^2}$

$\Rightarrow A{B^2} = O{A^2} - A{B^2} = {\left( {R + h} \right)^2} - {R^2} = {\left( {6\,400 + 0{,}02} \right)^2} - 6\,{400^2}$

$\Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {6\,400 + 0{,}02} \right)}^2} - 6\,{{400}^2}} = 16\left( {km} \right)$

Ta có $OA = OB = R;MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $MO$ là đường trung trực của đoạn $AB$.

Gọi $I$ là giao điểm của $MO$ và $AB$, ta có $I$ là trung điểm của đoạn $AB$ hay $IA = IB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{730}}{2} = 365\left( m \right)$.

Xét tứ giác $AOBM$ có:

$\widehat {AOB} = 360^\circ - \left( {\widehat {OBM} + \widehat {AMB} + \widehat {OAM}} \right)$

$= 360^\circ - \left( {90^\circ + 105^\circ + 90^\circ } \right) = 75^\circ$

Lại có $MO$ là tia phân giác của góc $AOB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

$\Rightarrow \widehat {AOI} = \widehat {BOI} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2} = \frac{{75^\circ }}{2} = 37{,}5^\circ$

Vì $MO$ là đường trung trực của $AB$(cmt) $\Rightarrow MO \bot AB$ tại $I$.

Xét tam giác $AOI$ vuông tại $I$ có cạnh góc vuông $IA = 365\left( m \right)$, góc nhọn $\widehat {AOI} = 37{,}5^\circ$.

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$IA = OA.\sin \widehat {AOI}$

$\Rightarrow OA = \frac{{IA}}{{\sin \widehat {AOI}}} = \frac{{365}}{{\sin 37{,}5^\circ }} \approx 599\left( m \right)$

Vậy bán kính đường tròn $\left( O \right)$ là $599m$.