26 bài tập Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn (có lời giải)

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho AC=R. Gọi I là trung điểm của dây AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến Ax tại M. Chứng minh rằng:

a) $\widehat {ACB}$ có số đo bằng 90°, từ đó suy ra độ dài của BC theo R;

b) OM là tia phân giác của $\widehat {COA}$;

c) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Cho SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Gọi M là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt SA tai E và cat SB tai F.

a) Chứng minh rằng chu vi của tam giác SEF bằng SA + SB.

b) Giả sử M là giao điểm của đọan SO với đường tròn (O). Chứng minh rằng SE = SF.

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ đường tròn đường kính AO cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm B và C.

a) Chứng minh AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

b) Chứng minh AB=AC.

c) Xác định tia phân giác của $\widehat {BAC}$ và $\widehat {BOC}$

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến tại A và B với nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến tại A và B lẩn lượt tại C và D.

a) Chứng minh rằng: CD = CA + BD; $\widehat {COD} = 90^\circ .$

b) Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và các đường thẳng m, n, p lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại A, B, C (hình vē). Chứng minh:

a)$AD + BE = DE$;

b)$\widehat {COD} = \frac{1}{2}\widehat {COA}$ và $\widehat {COE} = \frac{1}{2}\widehat {COB}$;

c) Tam giác ODE vuông;

Cho góc $\widehat {xOy} = 60^\circ$. Đường tròn tâm K bán kính R tiếp xúc với Ox tại A và Oy tại B. Từ điểm M trên cung nhỏ AB, vẽ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt Ox, Oy lần lượt tại C và D.

a) Tính chu vi $\Delta COD$theo R. Chứng tỏ chu vi đó không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.

b) Chứng tỏ số đo $\widehat {CKD}$ không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.

Cho nửa đường tròn $\left( {O;R} \right)$ đường kính $AB$. $M$ là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, kẻ $MH$ vuông góc với $AB$ ($H$ thuộc $AB)$. Vẽ đường tròn tâm $M$ bán kính $MH$. Kẻ các tiếp tuyến $AC$, $BD$ với đường tròn tâm $M$ ($C$, $D$ là các tiếp điểm).

a) Chứng minh ba điểm $C$, $M$, $D$ thẳng hàng và $CD$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$.

b) Chứng minh rằng khi $M$ di chuyển trên nửa đường tròn $\left( O \right)$ thì $AC + BD$ không đổi.