2 bài tập Đặt ẩn phụ đưa về phương pháp cộng (có lời giải)

a) Cách 1: Đặt $x + y = u$, $x - y = v$, ta có hệ phương trình (ẩn $u$, $v$):

$$\left\{ \begin{array}{l}2u + 3v = 4\\u + 2v = 5\end{array} \right.$$

Hệ này có nghiệm $\left( {u;\,v} \right) = \left( { - 7;\,6} \right)$, suy ra hệ đã cho tương đương với

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 7\\x - y = 6\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = - \frac{{13}}{2}\end{array} \right.\end{array}$$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left( { - \frac{1}{2};\, - \frac{{13}}{2}} \right)$.

Cách 2: Thu gọn vế trái của hai phương trình trong hệ, ta được hệ tương đương:

$$\left\{ \begin{array}{l}5x - v = 4\\3x - v = 5\end{array} \right.\,\,\,hay\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = - \frac{{13}}{2}\end{array} \right.$$

b) Đặt $u = x - 2$, $v = 1 + y$, ta có hệ:

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2u + 3v = - 2\\3u - 2v = - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = - 1\\v = 0\end{array} \right.\,\,hay\,\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - 1\\1 + y = 0\end{array} \right..\,\,\,Suy\,\,\,ra\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right.\end{array}$$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left( {1;\, - 1} \right)$

a) Điều kiện $x \ne 0$, $y \ne 0$

Đặt $X = \frac{1}{x}$, $Y = \frac{1}{y}$; Ta có hệ

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}X - Y = 1\\3{\rm{X + 4Y}} = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4X - 4Y = 4\\3{\rm{X + 4Y}} = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4{\rm{X}} - 4Y = 4\\7{\rm{X}} = 9\end{array} \right.\end{array}$$

$$\left\{ \begin{array}{l}X = \frac{9}{7}\\Y = \frac{2}{7}\end{array} \right.\,hay\,\,\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{9}{7}\\\frac{1}{y} = \frac{2}{7}\end{array} \right..\,\,Suy\,\,ra:\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{9}\\y = \frac{7}{2}\end{array} \right.$$

Hệ có nghiệm duy nhất $\left( {\frac{7}{9};\,\frac{7}{2}} \right)$

b) Điều kiện $x \ne 2$, $y \ne 1$

Đặt $X = \frac{1}{{x - 2}}$, $Y = \frac{1}{{y - 1}}$. Ta có hệ

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}X + Y = 2\\{\rm{2X - 3Y}} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3X + 3Y = 6\\{\rm{2X - 3Y}} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{\rm{3X + 3}}Y = 6\\{\rm{5X}} = 7\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}X = \frac{7}{5}\\Y = \frac{3}{5}\end{array} \right.\end{array}$$

$$hay\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 2}} = \frac{7}{5}\\\frac{1}{{y - 1}} = \frac{3}{5}\end{array} \right..\,\,Suyra\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{19}}{7}\\y = \frac{8}{3}\end{array} \right.$$

Hệ có nghiệm duy nhất $\left( {\frac{{19}}{7};\,\frac{8}{3}} \right)$