19 bài tập Khoảng tứ phân vị (có lời giải)

Cỡ mẫu n = 50.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{50}$ là mẫu số liệu gốc gồm cân nặng của 50 quả xoài được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x$_{1}$, x$_{2}$, x$_{3}$ ∈ [250; 290); x$_{4}$, …, x$_{16}$ ∈ [290; 330); x$_{17}$, …, x$_{34}$ ∈ [330; 370); x$_{35}$, …, x$_{45}$ ∈ [370; 410); x$_{46}$, …, x$_{50}$ ∈ [410; 450).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x$_{13}$ ∈ [290; 330). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 290 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 3}}{{13}}(330 - 290) = \frac{{4150}}{{13}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x$_{38}$ ∈ [370; 410). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 370 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} - (3 + 13 + 18)}}{{11}}(410 - 370) = \frac{{4210}}{{11}}$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = \frac{{4210}}{{11}} - \frac{{4150}}{{13}} = \frac{{9080}}{{143}}$

Cỡ mẫu $n = 25$

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{25}}$ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp $12{\rm{C}}$ được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1};{x_2} \in [155;160);{x_3}; \ldots ;{x_9} \in [160;165);{x_{10}}; \ldots ;{x_{21}} \in [165;170);{x_{22}}; \ldots ;{x_{24}} \in [170;175)$; ${x_{25}} \in [180;185)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_6} + {x_7}} \right) \in [160;165)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 2}}{7}(165 - 160) = \frac{{4565}}{{28}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{19}} \in [165;170)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (2 + 7)}}{{12}}(170 - 165) = \frac{{2705}}{{16}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{675}}{{12}}$

Gọi ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{25}}$ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp $12{\rm{D}}$ được xếp theo thứ tự không giảm.

та có: ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_5} \in [155;160);{y_6}; \ldots ;{y_{14}} \in [160;165);{y_{15}}; \ldots ;{y_{22}} \in [165;170)$;

${y_{23}};{{\rm{y}}_{24}} \in [170;175);{y_{25}} \in [175;180)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{y_6} + {y_7}} \right) \in [160;165)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_1^\prime = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 5}}{9}(165 - 160) = \frac{{5785}}{{36}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${y_{19}} \in [165;170)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3}^\prime = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (5 + 9)}}{8}(170 - 165) = \frac{{5375}}{{32}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q}^\prime = {Q_3}^\prime - {Q_1}^\prime = \frac{{2095}}{{288}}$

Có ${\Delta _Q}^\prime > {\Delta _Q}$ nên chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp $12{\rm{D}}$ có độ phân tán lơn hơn lớp $12{\rm{C}}$

a) Cỡ mẫu n = 100.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{100}$ là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 100 lần đi xe buýt của ông Thắng.

Ta có: x$_{1}$, …, x$_{22}$ ∈ [15; 18); x$_{23}$, …, x$_{60}$ ∈ [18; 21); x$_{61}$, …, x$_{87}$ ∈ [21; 24); x$_{88}$, …, x$_{95}$ ∈ [24; 27); x$_{96}$, …, x$_{99}$ ∈ [27; 30); x$_{100}$ ∈ [30; 33).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}({x_{25}} + {x_{26}})$ ∈ [18; 21). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 18 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 22}}{{38}}(21 - 18) = \frac{{693}}{{38}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x75 + x76) ∈ [21; 24). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 21 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (22 + 38)}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{68}}{3}$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = \frac{{68}}{3} - \frac{{693}}{{38}} = \frac{{505}}{{114}}$

b) Trong lần duy nhất ông Thắng đi hết hơn 29 phút, thời gian đi của ông thuộc nhóm [30; 33).

Vì Q$_{3}$ + 1,5∆Q =$\frac{{6683}}{{228}}$ < 30 nên thời gian của lần ông Thắng đi hết hơn 29 phút là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.

c) Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{100}}$ là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan được xếp theo thứ tự không giảm.

Khoảng biến thiên $R = 33 - 15 = 18$ (phút)

Tа có: ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{22}} \in [15;18);{x_{23}}; \ldots ;{x_{60}} \in [18;21);{x_{61}}; \ldots ;{x_{87}} \in [21;24)$;

${x_{88}}; \ldots ;{x_{95}} \in [24;27);{x_{96}}; \ldots ;{x_{99}} \in [27;30);{x_{100}} \in [30;33)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right) \in [18;21)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 18 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 22}}{{38}}(21 - 18) = \frac{{693}}{{38}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) \in [21;24)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 21 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (22 + 38)}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{68}}{3}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{505}}{{114}}$

Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu $x > {Q_3} + 1{,}5{\Delta _Q}$ hoặc $x < {Q_1} - 1{,}5{\Delta _Q}$

Hay $x > \frac{{39}}{2} + 1{,}5 \cdot \frac{{24}}{{19}} = 21{,}39$ hoă̆c $x < \frac{{693}}{{38}} - 1{,}5 \cdot \frac{{24}}{{19}} = 16{,}34$

Vậy các giá trị ngoại lệ thuộc khoảng $[15;18);[24;27);[27;30);[30;33)$

Khoảng biến thiên của mẵu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ: 24 - $18 = 6$ (phút)

Gọi ${z_1};{z_2}; \ldots ;{z_{65}}$ là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 65 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan được xếp theo thứ tự không giảm, sau khi đā loại bỏ các giá trị ngoại lệ

Ta có: ${z_1};{z_2}; \ldots ,{z_{38}} \in [18;21);{z_{30}}; \ldots ;{x_{65}} \in [21;24)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${z_{17}} \in [18;21)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẵu sô liệu ghép nhóm là: ${Q_1}^{\prime \prime } = 18 + \frac{{\frac{{65}}{4}}}{{38}}(21 - 18) = \frac{{2931}}{{152}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${z_{50}} \in [21;24)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3}^{\prime \prime } = 21 + \frac{{\frac{{3.65}}{4} - 38}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{799}}{{36}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q}^{\prime \prime } = {Q_3}^{\prime \prime } - {Q_1}^{\prime \prime } = 2{,}91$

Nhận xét: Sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ, khoảng biến thiên mới giảm mạnh còn khoảng tứ phân vị mới không bị ảnh hường nhiểu

a) Cỡ mẫu $n = 150$

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{150}}$ là mẫu số liệu gốc gồm thu nhập của 150 hộ gia đình được xếp theo thứ tự không giảm.

та có: ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{24}} \in [200;250);{x_{25}}; \ldots ;{x_{86}} \in [250;300);{x_{87}}; \ldots ;{x_{120}} \in [300;350)$;

${x_{121}}; \ldots ;{x_{141}} \in [350;400);{x_{142}}; \ldots ;{x_{150}} \in [400;450)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_{38}} \in [250;300)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 250 + \frac{{\frac{{150}}{4} - 24}}{{62}}(300 - 250) = \frac{{16175}}{{62}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{113}} \in [300;350)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 300 + \frac{{\frac{{3.150}}{4} - (24 + 62)}}{{34}}(350 - 300) = \frac{{11525}}{{34}}$

b) Doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng $\left[ {{Q_1};{Q_3}} \right) = [260{,}89;338{,}97)$ (triệu đồng)

Cỡ mẫu $n = 30$;

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{30}}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{25}} \in [20;25);{x_{26}}; \ldots ;{x_{30}} \in [25;30)$;

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_8} \in [20;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}}{{25}}(25 - 20) = \frac{{43}}{2}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{23}} \in [20;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 20 + \frac{{\frac{{3.30}}{4}}}{{25}}(25 - 20) = \frac{{49}}{2}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3$

Gọi ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{30}}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thề dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_5} \in [15;20);{y_6}; \ldots ;{y_{17}} \in [20;25);{y_{18}}; \ldots ;{y_{25}} \in [25;30);{y_{26}};{y_{27}};{y_{28}} \in [30;35)$; ${y_{29}};{y_{30}} \in [35;40)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${y_8} \in [20;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_1^\prime = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}}{{12}}(25 - 20) = \frac{{185}}{8}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${y_{23}} \in [25;30)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3}^\prime = 25 + \frac{{\frac{{3.00}}{4} - (5 + 12)}}{8}(30 - 25) = \frac{{455}}{{16}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q}^\prime = {Q_3}^\prime - {Q_1}^\prime = \frac{{85}}{{16}}$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình lớn hơn bác An