19 bài tập Khoảng tứ phân vị (có lời giải)

Cỡ mẫu n = 50.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{50}$ là mẫu số liệu gốc gồm cân nặng của 50 quả xoài được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x$_{1}$, x$_{2}$, x$_{3}$ ∈ [250; 290); x$_{4}$, …, x$_{16}$ ∈ [290; 330); x$_{17}$, …, x$_{34}$ ∈ [330; 370); x$_{35}$, …, x$_{45}$ ∈ [370; 410); x$_{46}$, …, x$_{50}$ ∈ [410; 450).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x$_{13}$ ∈ [290; 330). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 290 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 3}}{{13}}(330 - 290) = \frac{{4150}}{{13}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x$_{38}$ ∈ [370; 410). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 370 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} - (3 + 13 + 18)}}{{11}}(410 - 370) = \frac{{4210}}{{11}}$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = \frac{{4210}}{{11}} - \frac{{4150}}{{13}} = \frac{{9080}}{{143}}$

Cỡ mẫu $n = 25$

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{25}}$ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp $12{\rm{C}}$ được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1};{x_2} \in [155;160);{x_3}; \ldots ;{x_9} \in [160;165);{x_{10}}; \ldots ;{x_{21}} \in [165;170);{x_{22}}; \ldots ;{x_{24}} \in [170;175)$; ${x_{25}} \in [180;185)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_6} + {x_7}} \right) \in [160;165)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 2}}{7}(165 - 160) = \frac{{4565}}{{28}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{19}} \in [165;170)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (2 + 7)}}{{12}}(170 - 165) = \frac{{2705}}{{16}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{675}}{{12}}$

Gọi ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{25}}$ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp $12{\rm{D}}$ được xếp theo thứ tự không giảm.

та có: ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_5} \in [155;160);{y_6}; \ldots ;{y_{14}} \in [160;165);{y_{15}}; \ldots ;{y_{22}} \in [165;170)$;

${y_{23}};{{\rm{y}}_{24}} \in [170;175);{y_{25}} \in [175;180)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{y_6} + {y_7}} \right) \in [160;165)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_1^\prime = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 5}}{9}(165 - 160) = \frac{{5785}}{{36}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${y_{19}} \in [165;170)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3}^\prime = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (5 + 9)}}{8}(170 - 165) = \frac{{5375}}{{32}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q}^\prime = {Q_3}^\prime - {Q_1}^\prime = \frac{{2095}}{{288}}$

Có ${\Delta _Q}^\prime > {\Delta _Q}$ nên chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp $12{\rm{D}}$ có độ phân tán lơn hơn lớp $12{\rm{C}}$

a) Cỡ mẫu n = 100.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{100}$ là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 100 lần đi xe buýt của ông Thắng.

Ta có: x$_{1}$, …, x$_{22}$ ∈ [15; 18); x$_{23}$, …, x$_{60}$ ∈ [18; 21); x$_{61}$, …, x$_{87}$ ∈ [21; 24); x$_{88}$, …, x$_{95}$ ∈ [24; 27); x$_{96}$, …, x$_{99}$ ∈ [27; 30); x$_{100}$ ∈ [30; 33).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}({x_{25}} + {x_{26}})$ ∈ [18; 21). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 18 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 22}}{{38}}(21 - 18) = \frac{{693}}{{38}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x75 + x76) ∈ [21; 24). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 21 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (22 + 38)}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{68}}{3}$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = \frac{{68}}{3} - \frac{{693}}{{38}} = \frac{{505}}{{114}}$

b) Trong lần duy nhất ông Thắng đi hết hơn 29 phút, thời gian đi của ông thuộc nhóm [30; 33).

Vì Q$_{3}$ + 1,5∆Q =$\frac{{6683}}{{228}}$ < 30 nên thời gian của lần ông Thắng đi hết hơn 29 phút là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.

c) Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{100}}$ là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan được xếp theo thứ tự không giảm.

Khoảng biến thiên $R = 33 - 15 = 18$ (phút)

Tа có: ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{22}} \in [15;18);{x_{23}}; \ldots ;{x_{60}} \in [18;21);{x_{61}}; \ldots ;{x_{87}} \in [21;24)$;

${x_{88}}; \ldots ;{x_{95}} \in [24;27);{x_{96}}; \ldots ;{x_{99}} \in [27;30);{x_{100}} \in [30;33)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right) \in [18;21)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 18 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 22}}{{38}}(21 - 18) = \frac{{693}}{{38}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) \in [21;24)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 21 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (22 + 38)}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{68}}{3}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{505}}{{114}}$

Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu $x > {Q_3} + 1{,}5{\Delta _Q}$ hoặc $x < {Q_1} - 1{,}5{\Delta _Q}$

Hay $x > \frac{{39}}{2} + 1{,}5 \cdot \frac{{24}}{{19}} = 21{,}39$ hoă̆c $x < \frac{{693}}{{38}} - 1{,}5 \cdot \frac{{24}}{{19}} = 16{,}34$

Vậy các giá trị ngoại lệ thuộc khoảng $[15;18);[24;27);[27;30);[30;33)$

Khoảng biến thiên của mẵu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ: 24 - $18 = 6$ (phút)

Gọi ${z_1};{z_2}; \ldots ;{z_{65}}$ là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 65 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan được xếp theo thứ tự không giảm, sau khi đā loại bỏ các giá trị ngoại lệ

Ta có: ${z_1};{z_2}; \ldots ,{z_{38}} \in [18;21);{z_{30}}; \ldots ;{x_{65}} \in [21;24)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${z_{17}} \in [18;21)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẵu sô liệu ghép nhóm là: ${Q_1}^{\prime \prime } = 18 + \frac{{\frac{{65}}{4}}}{{38}}(21 - 18) = \frac{{2931}}{{152}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${z_{50}} \in [21;24)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3}^{\prime \prime } = 21 + \frac{{\frac{{3.65}}{4} - 38}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{799}}{{36}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q}^{\prime \prime } = {Q_3}^{\prime \prime } - {Q_1}^{\prime \prime } = 2{,}91$

Nhận xét: Sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ, khoảng biến thiên mới giảm mạnh còn khoảng tứ phân vị mới không bị ảnh hường nhiểu

a) Cỡ mẫu $n = 150$

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{150}}$ là mẫu số liệu gốc gồm thu nhập của 150 hộ gia đình được xếp theo thứ tự không giảm.

та có: ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{24}} \in [200;250);{x_{25}}; \ldots ;{x_{86}} \in [250;300);{x_{87}}; \ldots ;{x_{120}} \in [300;350)$;

${x_{121}}; \ldots ;{x_{141}} \in [350;400);{x_{142}}; \ldots ;{x_{150}} \in [400;450)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_{38}} \in [250;300)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 250 + \frac{{\frac{{150}}{4} - 24}}{{62}}(300 - 250) = \frac{{16175}}{{62}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{113}} \in [300;350)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 300 + \frac{{\frac{{3.150}}{4} - (24 + 62)}}{{34}}(350 - 300) = \frac{{11525}}{{34}}$

b) Doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng $\left[ {{Q_1};{Q_3}} \right) = [260{,}89;338{,}97)$ (triệu đồng)

Cỡ mẫu $n = 30$;

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{30}}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{25}} \in [20;25);{x_{26}}; \ldots ;{x_{30}} \in [25;30)$;

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_8} \in [20;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}}{{25}}(25 - 20) = \frac{{43}}{2}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{23}} \in [20;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 20 + \frac{{\frac{{3.30}}{4}}}{{25}}(25 - 20) = \frac{{49}}{2}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3$

Gọi ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{30}}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thề dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_5} \in [15;20);{y_6}; \ldots ;{y_{17}} \in [20;25);{y_{18}}; \ldots ;{y_{25}} \in [25;30);{y_{26}};{y_{27}};{y_{28}} \in [30;35)$; ${y_{29}};{y_{30}} \in [35;40)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${y_8} \in [20;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_1^\prime = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}}{{12}}(25 - 20) = \frac{{185}}{8}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${y_{23}} \in [25;30)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3}^\prime = 25 + \frac{{\frac{{3.00}}{4} - (5 + 12)}}{8}(30 - 25) = \frac{{455}}{{16}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q}^\prime = {Q_3}^\prime - {Q_1}^\prime = \frac{{85}}{{16}}$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình lớn hơn bác An

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A là: 34 - $19 = 15$ (tuổi)

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực B là: 31 - $19 = 12$ (tuổi)

Cơ mẫu $n = 100$

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{100}}$ là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực ${\rm{A}}$ được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{10}} \in [19;22);{x_{11}}; \ldots ;{x_{37}} \in [22;25);{x_{38}}; \ldots ;{x_{68}} \in [25;28);{x_{69}}; \ldots ;{x_{93}} \in [28;31)$; ${x_{94}}; \ldots ;{x_{100}} \in [31;34)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right) \in [22;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 22 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 10}}{{27}}(25 - 22) = \frac{{71}}{3}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) \in [28;31)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 28 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (10 + 27 + 31)}}{{25}}(31 - 28) = \frac{{721}}{{25}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{388}}{{75}}$

Gọi ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{100}}$ là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực ${\rm{B}}$ được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{47}} \in [19;22);{y_{48}}; \ldots ;{y_{87}} \in [22;25);{y_{88}}; \ldots ;{y_{98}} \in [25;30);{y_{99}};{y_{100}} \in [28;31)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{y_{25}} + {y_{26}}} \right) \in [19;22)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1}^\prime = 19 + \frac{{\frac{{100}}{4}}}{{47}}(22 - 19) = \frac{{968}}{{47}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{y_{75}} + {y_{76}}} \right) \in [22;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3}^\prime = 22 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - 47}}{{40}}(25 - 22) = \frac{{241}}{{10}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q}^\prime = {Q_3}^\prime - {Q_1}^\prime = \frac{{1647}}{{470}}$

b) Có ${\Delta _Q}^\prime < {\Delta _Q}$ nên phụ nữ ở khu vực B có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn

a) Bảng số liệu ghép nhóm:

Mẫu số liệu gốc

Khoảng biến thiên: ${{\rm{R}}_1} = 101 - 42 = 59$.

Sắp xếp mẫu số liệu gốc theo thứ tự tăng dần:

42 ; 47 ; 50 ; 55 ; 55 ; 57 ; 59 ; 60 ; 61 ; 63 ; 63 ; 67 ; 67 ; 68 ; 73 ; 75 ; 78 ; 79 ; 79 ; 101 .

Vì ${\rm{n}} = 20$ nên tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nhóm 42 ; 47 ; 50 ; 55 ; 55 ; 57 ; 59 ; 60 ; 61 ; 63.

Do đó ${Q_1} = \frac{{55 + 57}}{2} = 56$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nhóm 63 ; 67 ; 67 ; 68 ; 73 ; 75 ; 78 ; 79 ; 79 ; 101.

Do đó ${Q_3} = \frac{{73 + 75}}{2} = 74$.

Do đó ${{\rm{D}}_{1{\rm{Q}}}} = 74 - 56 = 18$.

Mẫu số liệu ghép nhóm

Khoảng biến thiên là: ${R_2} = 110 - 40 = 70$.

Cỡ mẫu là $n = 20$.

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{20}}$ là số thẻ vàng của mỗi câu lạc bộ trong giải ngoại hạng Anh mùa giải 2021 2022 và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}$.

Mà ${x_5};{x_6}$ thuộc nhóm [50 ; 60) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [50 ; 60).

Ta có ${Q_1} = 50 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 2}}{5} \cdot (60 - 50) = 56$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}$.

Mà ${x_{15}}$ : ${x_{16}}$ thuộc nhóm [70 ; 80) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [70 ; 80).

Ta có ${Q_3} = 70 + \frac{{\frac{{20.3}}{4} - 14}}{5} \cdot (80 - 70) = 72$.

Do đó ${{\rm{D}}_{2{\rm{Q}}}} = 72 - 56 = 16$.

Giá trị chính xác là ${R_1}$ và ${{\rm{D}}_{1Q}}$; giá trị xấp xỉ là ${R_2}$ và ${{\rm{D}}_{2Q}}$.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Mức thu nhập trung bình của người lao động nhà máy ${\rm{A}}$ là:

$\frac{{6{,}5.20 + 9{,}5.35 + 12{,}5.45 + 15{,}5.35 + 18{,}5.20}}{{(20 + 35 + 45 + 35 + 20)}} = 12{,}5{\rm{ (tri?u d?ng)}}{\rm{. }}$

Mức thu nhập trung bình của người lao động nhà máy ${\rm{B}}$ là:

$\frac{{6{,}5.17 + 9{,}5.23 + 12{,}5 \cdot 30 + 15{,}5.23 + 18{,}5.17}}{{(17 + 23 + 30 + 23 + 17)}} = 12{,}5{\rm{ (tri?u d?ng)}}{\rm{. }}$

Nhà máy ${\rm{A}}$

Cỡ mẫu $n = 20 + 35 + 45 + 35 + 20 = 155$.

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{155}}$ là mức thu nhập của 155 công nhân lao động của nhà máy $A$ và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là ${x_{39}}$ thuộc nhóm $[8;11)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $[8;11)$.

Ta có ${Q_1} = 8 + \frac{{\frac{{155}}{4} - 20}}{{35}} \cdot (11 - 8) \approx 9{,}6$.

Tứ phân vị thứ ba của mẵu số liệu là ${x_{117}}$ thuộc nhóm $[14;17)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $[14;17)$.

Ta có ${Q_3} = 14 + \frac{{\frac{{155.3}}{4} - 100}}{{35}} \cdot (17 - 14) \approx 15{,}4$.

Khoảng tứ phân vị: ${{\rm{R}}_{{\rm{AQ}}}} = 15{,}4 - 9{,}6 = 5{,}8$.

Nhà máy ${\rm{B}}$

Cơ mẫu ${\rm{n}} = 17 + 23 + 30 + 23 + 17 = 110$.

Gọi ${{\rm{y}}_1};{{\rm{y}}_2}; \ldots ;{{\rm{y}}_{110}}$ là mức thu nhập của 110 công nhân lao động của nhà máy ${\rm{B}}$ và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là ${{\rm{y}}_{28}}$ thuộc nhóm $[8;11)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $[8;11)$.

Ta có ${Q_1} = 8 + \frac{{\frac{{110}}{4} - 17}}{{23}} \cdot (11 - 8) \approx 9{,}4$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là ${y_{83}}$ thuộc nhóm $[14;17)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $[14;17)$.

Ta có ${Q_3} = 14 + \frac{{\frac{{3.10}}{4} - 70}}{{23}} \cdot (17 - 14) \approx 15{,}6$.

Khoảng tứ phân vị .

Vì ${R_{BQ}} > {R_{AQ}}$ nên mức thu nhập của người lao động ở nhà máy $B$ biến động nhiều hơn.

a) Bảng số liệu về lượng mưa của thành phố A

b) ${Q_1} \approx 67$; ${Q_3} = 275;{\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 208$

Kết quả tìm được cho thấy: Hằng năm, ở thành phố A có 3 tháng có lượng mưa trung bình không vượt quá 67 mm và 3 tháng có lượng mưa trung bình ít nhất là 275 mm. Trong 6 tháng còn lại, lượng mưa trung bình đạt từ 67 mm đến 275 mm và như vậy là lượng mưa của 6 tháng này có thể chênh lệch nhau đến 208 mm.

Lớp 12A

Khoảng biến thiên: ${{\rm{R}}_1} = 175 - 145 = 30$.

Cơ mẫu ${\rm{n}} = 1 + 0 + 15 + 12 + 10 + 5 = 43$.

Gọi ${{\rm{x}}_1};{{\rm{x}}_2}; \ldots ;{{\rm{x}}_{43}}$ là chiều cao của 43 học sinh lớp $12\;{\rm{A}}$ được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là ${{\rm{x}}_{11}}$ thuộc nhóm $[155;160)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $[155;160)$.

Ta có ${Q_1} = 155 + \frac{{\frac{{43}}{4} - 1}}{{15}} \cdot (160 - 155) = 158{,}25$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là x33 thuộc nhóm $[165;170)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $[165;170)$.

Ta có ${Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{43{,}3}}{4} - 28}}{{10}} \cdot (170 - 165) = 167{,}125$.

Khoảng tứ phân vị là ${{\rm{D}}_{{\rm{1Q}}}} = 167{,}125 - 158{,}25 = 8{,}875$.

Lớp 12B

Khoảng biến thiên: ${R_2} = 175 - 155 = 20$.

Cỏ mẫu $n = 17 + 10 + 9 + 6 = 42$.

Gọi ${{\rm{y}}_1};{{\rm{y}}_2}; \ldots ;{{\rm{y}}_{42}}$ là chiều cao của 42 học sinh lớp $12\;{\rm{B}}$ và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là ${y_{11}}$ thuộc nhóm $[155;160)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $[155;160)$.

Ta có ${Q_1} = 155 + \frac{{\frac{{42}}{4} - 0}}{{17}} \cdot (160 - 155) \approx 158{,}1$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là ${{\rm{y}}_{32}}$ thuộc nhóm [165;170) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $[165;170)$.

Ta có ${Q_2} = 165 + \frac{{\frac{{423}}{4} - 27}}{9} \cdot (170 - 165) = 167{,}5$.

Khoảng tứ phân vị là: ${R_{2Q}} = 167{,}5 - 158{,}1 = 9{,}4$.

b) Để so sánh độ phân tán về chiều cao của học sinh hai lớp này, ta nên dùng khoảng tứ phân vị vì khoảng tứ phân vị chỉ phụ thuộc vào nửa giửa của mẫu số liệu, không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.

Cỡ mẫu là $n = 42$.

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{42}}{4} = 10{,}5$ mà $5 < 10{,}5 < 15$. Suy ra nhóm 2 là nhóm đẩu tiên có tẩn số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10,5 .

Tứ phân vị thứ nhất: ${Q_1} = 45 + \left( {\frac{{10{,}5 - 5}}{{10}}} \right) \cdot 5 = 47{,}75(\;{\rm{cm}}).$

Tứ phân vị thứ ba là: ${Q_3} = 60 + \left( {\frac{{31{,}5 - 31}}{7}} \right).5 \approx 60{,}4(\;{\rm{cm}}).$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 60{,}4 - 47{,}75 = 12{,}65(\;{\rm{cm}}).$

a) Trong mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 8 , ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là ${{\rm{a}}_1} = 40$, đầu mút phải của nhóm 5 là ${{\rm{a}}_6} = 90$.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

${\rm{R}} = {{\rm{a}}_6} - {{\rm{a}}_1} = 90 - 40 = 50$ (nghìn đồng).

b) Từ Bảng 8 ta có bảng sau:

Số phần tử của mẫu là ${\rm{n}} = 60$.

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{60}}{4} = 15$ mà $9 < 15 < 28$. Suy ra nhóm 3 là nhóm dầu tiên có tần số tích lūy lớn hơn hoặc bằng 15 . Xét nhóm 3 là nhóm $[60;70)$ có $s = 60;h = 10;{n_3} = 19$ và nhóm 2 là nhóm $[50;60)$ có ${\rm{c}}{{\rm{f}}_2} = 9$.

Tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1} = 60 + \left( {\frac{{15 - 9}}{{19}}} \right) \cdot 10 = \frac{{1200}}{{19}}{\rm{ (nghìn đồng)}}{\rm{. }}$

Tứ phân vị thứ ba là: ${Q_3} = 70 + \left( {\frac{{45 - 28}}{{23}}} \right) \cdot 10 = \frac{{1780}}{{23}}{\rm{ (nghìn đồng)}}{\rm{. }}$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{1780}}{{23}} - \frac{{1200}}{{19}} \approx 14{,}23{\rm{ (nghìn đồng)}}{\rm{. }}$

a) Trong mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là ${{\rm{a}}_1} = 10$, đầu mút phải của nhóm 6 là ${{\rm{a}}_7} = 40$.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

$\text{R}={\text{a}}_{7}-{\text{a}}_{1}=80-20=60.\$

b) Từ Bảng trên ta có bảng sau:

Số phần tử của mẫu là ${\rm{n}} = 60$.

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{60}}{4} = 15$. Suy ra nhóm 1 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 15 . Xét nhóm 1 là nhóm $[10;15)$ có ${\rm{s}} = 10;{\rm{h}} = 5;{{\rm{n}}_1} = 15$.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là: ${Q}_{1}=20+\frac{25}{25}\cdot 10=30$

Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.60}}{4} = 45$ mà $43 < 45 < 53$. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lūy lớn hơn hoặc bẳng 45 . Xét nhóm 4 là nhóm $[25;30)$ có $t = 25;1 = 5;{n_4} = 10$ và nhóm 3 là nhóm $[20;25)$ có cf $3 = 43$.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là: ${Q}_{3}=50+(\frac{75-65}{15})\cdot 10=\frac{170}{3}$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẵu số liệu ghép nhóm đã cho là: ${Δ}_{Q}={Q}_{3}-{Q}_{1}=\frac{170}{3}-30=\frac{80}{3}\approx 26{,}67$

a) Trong mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng số liệu, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là ${{\rm{a}}_1} = 20$, đầu mút phải của nhóm 6 là ${{\rm{a}}_7} = 80$.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

${\rm{R}} = {{\rm{a}}_7} - {{\rm{a}}_1} = 80 - 20 = 60.{\rm{ }}$

b) Từ Bảng 10 ta có bảng sau:

Số phần tử của mẫu là ${\rm{n}} = 100$.

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{100}}{4} = 25$. Suy ra nhóm 1 là nhóm đầu tiên có tần số tích lūy lớn hơn hoặc bằng 25 . Xét nhóm 1 là nhóm $[20;30)$ có ${\rm{s}} = 20;{\rm{h}} = 10;{{\rm{n}}_1} = 25$.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1} = 20 + \frac{{25}}{{25}} \cdot 10 = 30$

Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 100}}{4} = 75$ mà $65 < 75 < 80$. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 75 . Xét nhóm 4 là nhóm $[50;60)$ có $t = 50;I = 10;{n_4} = 15$ và nhóm 3 là nhóm $[40;50)$ có ${\rm{c}}{{\rm{f}}_3} = 65$.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là: ${Q_3} = 50 + \left( {\frac{{75 - 65}}{{15}}} \right) \cdot 10 = \frac{{170}}{3}$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{170}}{3} - 30 = \frac{{80}}{3} \approx 26{,}67$

Năm 2021

Khoảng biến thiên: ${{\rm{R}}_1} = 40 - 30 = 10$.

Ta có cỡ mẫu là ${\rm{n}} = 30$.

Gọi ${{\rm{x}}_1};{{\rm{x}}_2}; \ldots ;{{\rm{x}}_{30}}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2021 được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Ta có tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là ${x_8}$ thuộc nhóm $[32;34)$. Do đó nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $[32;34)$.

Ta có ${Q_1} = 32 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 2}}{8} \cdot (34 - 32) = 33{,}375$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là ${x_{23}}$ thuộc nhóm [38;40 ). Do đó nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $[38;40)$.

Ta có ${Q_3} = 38 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - 21}}{9} \cdot (40 - 38) \approx 38{,}333$.

Do đó khoảng tứ phân vị ${\Delta _{1Q}} = 38{,}333 - 33{,}375 = 4{,}958$.

Năm 2022

Khoảng biến thiên ${R_2} = 40 - 28 = 12$.

Ta có cơ mẫu là ${\rm{n}} = 30$.

Giả sử ${{\rm{y}}_1},{{\rm{y}}_2}, \ldots ,{{\rm{y}}_{30}}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2022 được sấp xếp theo thứ tự tăng dần.

Ta có tứ phân vị thứ nhất của mẵu số liệu gốc là ${{\rm{y}}_8}$ thuộc nhóm [32 ; 34) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [32 ; 34).

Ta có ${Q_1} = 32 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 5}}{4} \cdot (34 - 32) = 33{,}25$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${{\rm{y}}_{23}}$ thuộc nhóm [36 ; 38) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [36 ; 38).

Ta có ${Q_3} = 36 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - 20}}{8} \cdot (38 - 36) = 36{,}625$.

Khoảng tứ phân vị: ${\Delta _{2{\rm{Q}}}} = 36{,}625 - 33{,}25 = 3{,}375$.

Theo khoảng biến thiên: Vì ${{\rm{R}}_2} > {{\rm{R}}_1}$ nên nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2022 biến đổi nhiều hơn nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2021.

Theo khoảng tứ phân vị: Vì ${\Delta _{1Q}} > {\Delta _{2{\rm{Q}}}}$ nên nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2021 biến đổi nhiều hơn nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2022 .

a) Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần:

$147;187{,}1;200{,}7;242{,}2;251{,}4;258{,}4;288{,}5;298{,}1;305;332;341{,}4;$

$388{,}6;400;413{,}5;413{,}5;421;432{,}2;475;520;522{,}9.$

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu: $522{,}9 - 147 = 375{,}9(\;{\rm{mm}})$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là trung vị của 147 ; 187,1 ; 200,7 ; 242,2 ; 251,4 ; 258,4 ; 288,5; 298,1 ; 305 ; 332 nên: ${Q_1} = \frac{{6276}}{{25}}$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là trung vị của 341 ,

$4;388{,}6;400;413{,}5;413{,}5;421;432{,}2;475;520;522{,}9\text{nên:}{Q}_{3}=\frac{43281}{100}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{18177}}{{100}}$

b)

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: 540 - $140 = 400(\;{\rm{mm}})$

Cơ mẫu $n = 20$;

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{20}}$ là mẫu số liệu gốc về lượng mưa đo được vào tháng 7 từ năm 2002 đến 2021 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1}; \ldots ;{x_3} \in [140;240);{x_4}; \ldots ;{x_{10}} \in [240;340);{x_{11}}; \ldots ;{x_{17}} \in [340;440);{x_{18}}; \ldots ;{x_{20}} \in [440;540)$ Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right) \in [240;340)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1}^\prime = 240 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{7}(340 - 240) = \frac{{1880}}{7}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right) \in [340;440)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3}^\prime = 340 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - (3 + 7)}}{7}(440 - 340) = \frac{{2880}}{7}$ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q}^\prime = {Q_3}^\prime - {Q_1}^\prime = \frac{{1000}}{7}$ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm lớn hơn mẫu số liệu; khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm nhỏ hơn mẫu số liệu.

Cỡ mẫu $n = 92$;

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{92}}$ là mẫu số liệu gốc về số lượt khách hàng đặt bàn qua hình thức trực tuyến mỗi ngày trong quý III năm 2022 của nhà hàng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1}; \ldots ;{x_{14}} \in [1;6);{x_{15}}; \ldots ;{x_{44}} \in [6;11);{x_{45}}; \ldots ;{x_{69}} \in [11;16);{x_{70}}; \ldots ;{x_{87}} \in [16;21){\rm{; }}{x_{88}}; \ldots ;{x_{92}} \in [21;26)$Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{23}} + {x_{24}}} \right) \in [6;11)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 6 + \frac{{\frac{{92}}{4} - 14}}{{30}}(11 - 6) = 7{,}5$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{69}} + {x_{70}}} \right) \in [11;16)$ và $[16;21)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 16$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 8{,}5$

a) Khoảng biên thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: $9{,}4 - 8{,}4 = 1(\;{\rm{m}})$

Cỡ mẫu $n = 100$;

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{100}}$ là mẫu số liệu gốc về số lượt khách hàng đặt bàn qua hình thức trực tuyến mối ngày trong quý III năm 2022 của nhà hàng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1}; \ldots ;{x_5} \in [8{,}4;8{,}6);{x_6}; \ldots ;{x_{17}} \in [8{,}6;8{,}8);{x_{18}}; \ldots ;{x_{42}} \in [8{,}8;9{,}0);{x_{43}}; \ldots ;{x_{86}} \in [9{,}0;9{,}2)$; ${x_{87}}; \ldots ;{x_{100}} \in [9{,}2;9{,}4)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right) \in [8{,}8;9{,}0)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 8{,}8 + \frac{{\frac{{100}}{4} - (5 + 12)}}{{25}}(9{,}0 - 8{,}8) = 9{,}44$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) \in [9{,}0;9{,}2)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 9{,}0 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (5 + 12 + 25)}}{{44}}(9{,}2 - 9{,}0) = 10{,}5$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 1{,}06$

b) Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu $x > {Q_3} + 1{,}5{\Delta _Q}$ hoặc $x < {Q_1} - 1{,}5{\Delta _Q}$ Hay $x > 10{,}5 + 1{,}5.1{,}06 = 12{,}09$ hoặc $x < 9{,}44 - 1{,}5.1{,}06 = 7{,}85$

Vậy cây cao $8{,}4\;{\rm{m}}$ không phải là giá trị ngoại lệ.

Cỡ mẫu $n = 50$

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{50}}$ là mẫu số liệu gốc về tuổi thọ trung bình của nam giới ở 50 quốc gia được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_4} \in [50;55);{x_5}; \ldots ;{x_{11}} \in [55;60);{x_{12}}; \ldots ;{x_{15}} \in [60;65);{x_{16}}; \ldots ;{x_{21}} \in [65;70)$; ${x_{22}}; \ldots ;{x_{36}} \in [70;75);{x_{37}}; \ldots ;{x_{48}} \in [75;80);{x_{49}};{x_{50}} \in [80;85)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_{13}} \in [60;65)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 60 + \frac{{\frac{{50}}{4} - (4 + 7)}}{4}(65 - 60) = 71{,}875$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{38}} \in [75;80)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 75 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} - (4 + 7 + 4 + 6 + 15)}}{{12}}(80 - 75) = 75{,}625$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3{,}75$

Gọi ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{50}}$ là mẫu số liệu gốc về tuổi thọ trung bình của nữ giới ở 50 quốc gia được xếp theo thứ tự không giảm.

та co: ${y_1}; \ldots ;{y_3} \in [50;55);{y_4}; \ldots ;{y_7} \in [55;60);{y_8}; \ldots ;{y_{12}} \in [60;65);{y_{13}}; \ldots ;{y_{15}} \in [65;70)$;

${y_{16}}; \ldots ;{y_{22}} \in [70;75);{y_{23}}; \ldots ;{y_{36}} \in [75;80);{y_{37}}; \ldots ;{y_{49}} \in [80;85);{y_{50}} \in [85;90)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${y_{13}} \in [65;70)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1}^\prime = 65 + \frac{{\frac{{50}}{4} - (3 + 4 + 5)}}{3}(70 - 65) = \frac{{395}}{6}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${y_{38}} \in [80;85)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3}^\prime = 80 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} - (3 + 4 + 5 + 3 + 7 + 14)}}{{13}}(85 - 80) = \frac{{2095}}{{26}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\Delta {Q^\prime } = {Q_3}^\prime - {Q_1}^\prime = \frac{{575}}{{39}}$

b) Có ${\Delta _Q}^\prime > {\Delta _Q}$ nên độ tuổi trung bình của nam giới đồng đều hơn.