12 bài tập Tính toán (có lời giải)

a) $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $B \Rightarrow AB \bot OB$.

Xét tam giác $ABO$ vuông tại $B$, theo định lí Pythagore:

$O{A^2} = O{B^2} + A{B^2}$ hay ${(r + 2)^2} = {r^2} + {4^2}$

$\Rightarrow {r^2} + 4r + 4 = {r^2} + 16$

$\Rightarrow 4r = 16 - 4 = 12$

$\Rightarrow r = 3$

Vậy bán kính của đường tròn $\left( O \right)$ là $r = 3$.

b) $OA = OC + AC = r + 2 \Rightarrow OA = 3 + 2 = 5$.

a) Ta có $MI$ là đường phân giác của góc $EMF$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) $\Rightarrow \widehat {EMI} = \widehat {FMI} = \frac{{\widehat {EMF}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$.

Xét tứ giác $MEIF$ có: $\widehat {MEI} = \widehat {MFI} = 90^\circ$ (tính chất của tiếp tuyến)

$\Rightarrow \widehat {EIF} = 360^\circ - \left( {\widehat {MEI} + \widehat {MFI} + \widehat {EMF}} \right)$$= 360^\circ - \left( {90^\circ + 90^\circ + 60^\circ } \right) = 120^\circ$

b) Xét tam giác $MEI$ vuông tại $E$ có $\widehat {EMI} = 30^\circ$ (cmt)

$\Rightarrow MI = 2EI = 2.6 = 12\left( {{\rm{\;}}cm} \right){\rm{.\;}}$

$\Delta MAO$ vuông tại $A$ (tính chất tiếp tuyến)

Theo định lí Pythagore $M{A^2} = M{O^2} - O{A^2}$

$M{A^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \Rightarrow MA = 8\left( {{\rm{\;}}cm} \right)$

Ta có $MB = MA = 8\left( {{\rm{\;}}cm} \right)$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Dễ thấy $MO$ là đường trung trực của $AB$ ($OA = OB$, $MA = MB$) $\Rightarrow MO \bot AB$ tại $H$.

Xét $\Delta MAO$ và $\Delta AHO$ có: $\widehat {MAO} = \widehat {AHO} = 90^\circ$, $\widehat {MOA}$ chung

Do đó $ΔMAO∽\ ΔAHO$ (g.g) $\Rightarrow \frac{{MO}}{{AO}} = \frac{{AO}}{{HO}}$ $\Rightarrow A{O^2} = MO \cdot HO$

$\Rightarrow HO = \frac{{A{O^2}}}{{MO}} = \frac{{{6^2}}}{{10}} = 3{,}6\,\,\left( {cm} \right)$

$\Rightarrow HM = MO - HO = 10 - 3{,}6 = 6{,}4\,\,\left( {cm} \right)$

Chứng minh tương tự, ta có: (g.g)

$\Rightarrow \frac{{AH}}{{MH}} = \frac{{HO}}{{AH}} \Rightarrow A{H^2} = MH \cdot HO = 6{,}4 \cdot 3{,}6$

$\Rightarrow AH = \sqrt {6{,}4 \cdot 3{,}6} \approx 4{,}8\,\,\left( {cm} \right)$

Vì $MO$ là đường trung trực của $AB\left( {cmt} \right) \Rightarrow HA = HB = 4{,}8\,\,\left( {cm} \right)$$\Rightarrow AB = HA + HB = 4{,}8 + 4{,}8 = 9{,}6\,\,\left( {cm} \right)$

a) Dễ thấy tứ giác $MBOA$ là hình chữ nhật (có ba góc vuông)

Lại có $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên $MBOA$ là hình vuông (hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông)$\Rightarrow MA = MB = 5{\rm{\;}}cm{\rm{.\;}}$

b) $DB$ và $DI$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $\left( O \right)$ nên $OD$ là tia phân giác của $\widehat {MOB} = {45^ \circ }$ $\Rightarrow \widehat {DOB} = \widehat {DOI} = \frac{{45^\circ }}{2} = 22{,}5^\circ$.

Xét tam giác $DBO$ vuông tại $B$, có $\widehat {DOB} = 22{,}5^\circ$ và cạnh góc vuông $OB = 5{\rm{\;}}cm$.

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$BD = OB \cdot \tan \widehat {DOB} = 5 \cdot \tan 22{,}5^\circ \approx 2{,}1\,\,\left( {cm} \right)$ $\Rightarrow DI = DB \approx 2{,}1\,\,\left( {cm} \right)$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có $MD = MC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Tam giác $DMC$ cân có $MI$ là đường cao nên đồng thời là trung tuyếr. Hay $IC = DI \approx 2{,}1$ (cm) $\Rightarrow CD = 2.2{,}1 \approx 4{,}2\,\,\left( {cm} \right)$

Ta có $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên tam giác $AMB$ cân tại $M$ có $\widehat {AMB} = {60^ \circ }\left( {gt} \right)$ nên tam giác $AMB$ đều $\Rightarrow MA = MB = AM$ mà

$MA + MB + AB = 18\left( {{\rm{\;}}cm} \right) \Rightarrow AB = \frac{{18}}{3} = 6\left( {{\rm{\;}}cm} \right)$