12 bài tập Chứng minh bất đẳng thức có lời giải

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 2023 < 2024.

Cộng hai vế với −19 ta được 2023 + (−19) < 2024 + (−19).

b) Ta có: 4 = 2 + 2 > 2 + $\sqrt 2$ nên 4 > 2 + $\sqrt 2$.

c) Có −3 < −2 nên cộng hai vế với 23$^{50}$ ta được −3 + 23$^{50}$ < −2 + 23$^{50}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: a$^{2}$ > b$^{2}$ nên 5a$^{2}$ > 5b$^{2}$.

Mà 5b$^{2}$ > 4b$^{2}$ nên 5a$^{2}$ > 4b$^{2}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: m$^{2}$ < n$^{2}$nên nhân cả hai vế với 2 ta được 2m$^{2}$ < 2n$^{^{2}}$

Mà 2m$^{2}$ > $\frac{3}{2}$m$^{2}$ nên $\frac{3}{2}$m$^{2}$ < 2n$^{2}$

Hướng dẫn giải

Xét hiệu, ta có:

P = x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ − xy − yz − zx

2P = 2x$^{2}$ + 2y$^{2}$ + 2z$^{2}$ − 2xy − 2yz − 2xz

2P = (x$^{2}$ – 2xy + y$^{2}$) + (y$^{2}$ – 2yz + z$^{2}$) + (z$^{2}$ – 2zx + z$^{2}$)

2P = (x – y)$^{2}$ + (y – z)$^{2}$ + (z – x)$^{2}$ ≥ 0

Suy ra P ≥ 0 hay x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – xy – yz – zx ≥ 0

Vậy x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ ≥ xy + yz + xz (đpcm).

Hướng dẫn giải

Xét hiệu (a$^{2}$ + b$^{2}$)$^{2}$ – ab(a + b)$^{2}$

= a$^{4}$ + 2a$^{2}$b$^{2}$ + b$^{4}$ – a$^{3}$b – 2a$^{2}$b$^{2}$ – ab$^{3}$

= a$^{4}$ + b$^{4}$ – a$^{3}$b – ab$^{3}$

= a$^{3}$(a – b) + b$^{3}$ (b – a)

= (a – b)(a$^{3}$ – b$^{3}$)

= (a – b)$^{2}$(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$) ≥ 0.

Do đó, (a$^{2}$ + b$^{2}$)$^{2}$ – ab(a + b)$^{2}$ ≥ 0.

Vậy (a$^{2}$ + b$^{2}$)$^{2}$ ≥ ab.(a + b)$^{2}$.