11 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 1: Nguyên hàm có đáp án

Chọn đáp án C

Ta có $\int {f(x)dx = } F(x) + C \Leftrightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ nên phương án A, B, D đúng.

Chọn đáp án A

Theo tính chất nguyên hàm thì $\left( I \right)$ và $\left( {II} \right)$ là đúng, $\left( {III} \right)$ sai.

Chọn đáp án C

Do $I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 2\int {g\left( x \right)} {\rm{d}}x - \int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 2{F_2}\left( x \right) - {F_1}\left( x \right) + C$.

Chọn đáp án A

Ta có:

$\int {\left( {2x - 1} \right){\rm{d}}x = {x^2} - x + {c_1}}$;

$$\int {\left( {3{x^2} - 2} \right){\rm{d}}x} = {x^3} - 2x + {c_2}$$

Suy ra $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + {C_1}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 1\\{x^3} - 2x + {C_2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1\end{array} \right.$

Mà ta có $F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2$

Mặt khác hàm số $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ nên $y = F\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) \Rightarrow {C_1} = 1$.

Khi đó ta có: $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 1\\{x^3} - 2x + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = 3\\F\left( 2 \right) = 3\end{array} \right..$

Vậy $F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = 9$.

Chọn đáp án D

Khi $x \ge 1$ thì $F(x) = \int f (x)dx = \int {(2x + 3)} dx = {x^2} + 3x + {C_1}$

Khi $x < 1$ thì $F(x) = \int f (x)dx = \int {\left( {3{x^2} + 2} \right)} dx = {x^3} + 2x + {C_2}$

Theo giả thiết $F(0) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2$ Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) = 5$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$.

Suy ra hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Do đó hàm số $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F(x) \Rightarrow {C_1} + 4 = {C_2} + 3 \Rightarrow {C_1} = 1$

Vậy $F( - 1) + 2F(2) = - 3 + {C_2} + 2\left( {10 + {C_1}} \right) = 21$