11 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 1: Nguyên hàm có đáp án

Chọn đáp án C

Ta có $\int {f(x)dx = } F(x) + C \Leftrightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ nên phương án A, B, D đúng.

Chọn đáp án A

Theo tính chất nguyên hàm thì $\left( I \right)$ và $\left( {II} \right)$ là đúng, $\left( {III} \right)$ sai.

Chọn đáp án C

Do $I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 2\int {g\left( x \right)} {\rm{d}}x - \int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 2{F_2}\left( x \right) - {F_1}\left( x \right) + C$.

Chọn đáp án A

Ta có:

$\int {\left( {2x - 1} \right){\rm{d}}x = {x^2} - x + {c_1}}$;

$$\int {\left( {3{x^2} - 2} \right){\rm{d}}x} = {x^3} - 2x + {c_2}$$

Suy ra $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + {C_1}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 1\\{x^3} - 2x + {C_2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1\end{array} \right.$

Mà ta có $F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2$

Mặt khác hàm số $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ nên $y = F\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) \Rightarrow {C_1} = 1$.

Khi đó ta có: $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 1\\{x^3} - 2x + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = 3\\F\left( 2 \right) = 3\end{array} \right..$

Vậy $F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = 9$.

Chọn đáp án D

Khi $x \ge 1$ thì $F(x) = \int f (x)dx = \int {(2x + 3)} dx = {x^2} + 3x + {C_1}$

Khi $x < 1$ thì $F(x) = \int f (x)dx = \int {\left( {3{x^2} + 2} \right)} dx = {x^3} + 2x + {C_2}$

Theo giả thiết $F(0) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2$ Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) = 5$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$.

Suy ra hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Do đó hàm số $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F(x) \Rightarrow {C_1} + 4 = {C_2} + 3 \Rightarrow {C_1} = 1$

Vậy $F( - 1) + 2F(2) = - 3 + {C_2} + 2\left( {10 + {C_1}} \right) = 21$

Chọn đáp án A

$F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ nên $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + {C_1}\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 1\\{x^3} + x + {C_2}\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\end{array} \right.$.

Ta có: $F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2$. $\left( 1 \right)$

Do $F$ liên tục tại $x = 1$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)$

$\Leftrightarrow {C_1} + 3 = {C_2} + 2\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)} {C_1} + 3 = 4 \Leftrightarrow {C_1} = 1$.

Do đó $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 1\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 1\\{x^3} + x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\end{array} \right.$.

Suy ra $F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = 18$.

Chọn đáp án B

Ta có: $f'\left( x \right) = 12{x^2} + 2,\,\forall x \in \mathbb{R}$$\Rightarrow$$f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x + {C_1}$.

Mà $f\left( 1 \right) = 3$$\Rightarrow$$3 = 6 + {C_1}$$\Rightarrow$${C_1} = - 3$$\Rightarrow$$f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x - 3$$\Rightarrow$$F\left( x \right) = {x^4} + {x^2} - 3x + {C_2}$.

Lại có: $F\left( 0 \right) = 2$$\Rightarrow$${C_2} = 2$$\Rightarrow$$F\left( x \right) = {x^4} + {x^2} - 3x + 2$.

Khi đó: $F\left( 1 \right) = 1$.

Cách khác: Ta có: $F\left( 1 \right) = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + F\left( 0 \right) = \int\limits_0^1 {\left( {4{x^3} + 2x - 3} \right){\rm{d}}x} + 2 = - 1 + 2 = 1$.

Chọn đáp án A

Ta có $f\left( x \right) = F'\left( x \right)$ $\Rightarrow f\left( x \right) = {\left( {{e^{{x^2}}}} \right)^\prime } = 2x{e^{{x^2}}}$.

Chọn đáp án C

Ta có $\int {kf\left( x \right){\rm{d}}x} = k\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} ,\forall k \in \mathbb{R},k \ne 0$ nên đáp án C sai.

Chọn đáp án D

$F'\left( x \right) = {\left( {x\sin x + \cos x + 2024} \right)^\prime } = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$, $\forall x \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow$ Hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\cos x$ trên $\mathbb{R}$.

Chọn đáp án A

Ta có $F'\left( x \right) = {\left( {\sqrt[3]{x} + 2\sqrt x + x\sqrt x } \right)^\prime } = {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} + 2\sqrt x + {x^{\frac{3}{2}}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{3}{2}\sqrt x$.