10 Bài tập Vận dụng tính chất ba đường cao, đường trung trực trong tam giác để giải quyết các bài toán khác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là:C

Gọi đường tròn đi qua ba điểm A, B, C có tâm O ta có OA = OB = OC.

Ba điểm phân biệt A, B, C không thẳng hàng tạo thành tam giác ABC.

Vì OA = OB = OC nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Vậy đường tròn đi qua ba điểm A, B, C có tâm O là giao của ba đường trung trực của ∆ABC và bán kính bằng OA.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì ∆ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường trung trực.

Mà K là giao điểm các đường trung trực của BC, AC.

Vì vậy KA = KB = KC.

Đáp án đúng là: C

⦁ Gọi I là giao điểm của AD và BE.

Xét ∆ABI và ∆AEI, có:

AI là cạnh chung,

AB = AE (giả thiết),

$\widehat {BAI} = \widehat {EAI}$ (do AI là đường phân giác của ∆ABE).

Do đó ∆ABI = ∆AEI (c.g.c).

Suy ra $\widehat {AIB} = \widehat {AIE}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat {AIB} + \widehat {AIE} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

Vì vậy $\widehat {AIB} = \widehat {AIE} = 180^\circ :2 = 90^\circ$.

Do đó AI ⊥ BE. Suy ra AI là đường cao của ∆ABE.

Mà H là giao điểm của hai đường cao AD và BF nên H là trực tâm của ∆ABE.

Do đó (I) đúng.

⦁ Vì AI là đường phân giác của ∆ABE nên $\widehat {FAH} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = \frac{{70^\circ }}{2} = 35^\circ$.

∆AHF vuông tại F: $\widehat {FAH} + \widehat {AHF} = 90^\circ$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat {AHF} = 90^\circ - \widehat {FAH} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

Vì H thuộc AI nên ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Suy ra $\widehat {AHF} + \widehat {FHD} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

Do đó $\widehat {FHD} = 180^\circ - \widehat {AHF} = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$.

Vì vậy (II) sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta thực hiện các bước:

Bước 1. Lấy ba điểm A, B, C trên đường viền ngoài của mảnh gỗ hình tròn.

Bước 2. Vẽ tam giác ABC.

Bước 3. Vẽ hai đường trung trực của tam giác đó, hai đường này cắt nhau tại một điểm. Đây chính là tâm của tấm gỗ hình tròn cần xác định.

Đáp án đúng là: C

Gọi O là giao điểm các đường trung trực của AB và AC.

Suy ra O nằm trên đường trung trực của BC.

Mà ∆ABC cân tại A nên AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của BC.

Do đó AO là đường trung trực của BC.

Gọi H là trung điểm của AB nên $AH = BH = \frac{1}{2}AB.$

Gọi K là trung điểm của AC nên $AK = CK = \frac{1}{2}AC.$

Mà AB = AC nên AH = BH = AK = CK.

Xét ∆BHD (vuông tại H) và ∆CKE (vuông tại K) có:

BH = CK và $\widehat {HBD} = \widehat {KCE}$ (do $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ vì ∆ABC cân tại A)

Do đó ∆HBD = ∆KCE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng) và $\widehat {HDB} = \widehat {KEC\;}$ (hai góc tương ứng)

Nên $\widehat {ODE} = \widehat {OED}$ (đối đỉnh), suy ra ∆ODE cân tại O.

Vậy A, B, D là các khẳng định đúng. Ta chọn phương án C.