10 Bài tập Vận dụng tính chất ba đường cao, đường trung trực trong tam giác để giải quyết các bài toán khác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là:C

Gọi đường tròn đi qua ba điểm A, B, C có tâm O ta có OA = OB = OC.

Ba điểm phân biệt A, B, C không thẳng hàng tạo thành tam giác ABC.

Vì OA = OB = OC nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Vậy đường tròn đi qua ba điểm A, B, C có tâm O là giao của ba đường trung trực của ∆ABC và bán kính bằng OA.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì ∆ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường trung trực.

Mà K là giao điểm các đường trung trực của BC, AC.

Vì vậy KA = KB = KC.

Đáp án đúng là: C

⦁ Gọi I là giao điểm của AD và BE.

Xét ∆ABI và ∆AEI, có:

AI là cạnh chung,

AB = AE (giả thiết),

$\widehat {BAI} = \widehat {EAI}$ (do AI là đường phân giác của ∆ABE).

Do đó ∆ABI = ∆AEI (c.g.c).

Suy ra $\widehat {AIB} = \widehat {AIE}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat {AIB} + \widehat {AIE} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

Vì vậy $\widehat {AIB} = \widehat {AIE} = 180^\circ :2 = 90^\circ$.

Do đó AI ⊥ BE. Suy ra AI là đường cao của ∆ABE.

Mà H là giao điểm của hai đường cao AD và BF nên H là trực tâm của ∆ABE.

Do đó (I) đúng.

⦁ Vì AI là đường phân giác của ∆ABE nên $\widehat {FAH} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = \frac{{70^\circ }}{2} = 35^\circ$.

∆AHF vuông tại F: $\widehat {FAH} + \widehat {AHF} = 90^\circ$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat {AHF} = 90^\circ - \widehat {FAH} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

Vì H thuộc AI nên ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Suy ra $\widehat {AHF} + \widehat {FHD} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

Do đó $\widehat {FHD} = 180^\circ - \widehat {AHF} = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$.

Vì vậy (II) sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta thực hiện các bước:

Bước 1. Lấy ba điểm A, B, C trên đường viền ngoài của mảnh gỗ hình tròn.

Bước 2. Vẽ tam giác ABC.

Bước 3. Vẽ hai đường trung trực của tam giác đó, hai đường này cắt nhau tại một điểm. Đây chính là tâm của tấm gỗ hình tròn cần xác định.

Đáp án đúng là: C

Gọi O là giao điểm các đường trung trực của AB và AC.

Suy ra O nằm trên đường trung trực của BC.

Mà ∆ABC cân tại A nên AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của BC.

Do đó AO là đường trung trực của BC.

Gọi H là trung điểm của AB nên $AH = BH = \frac{1}{2}AB.$

Gọi K là trung điểm của AC nên $AK = CK = \frac{1}{2}AC.$

Mà AB = AC nên AH = BH = AK = CK.

Xét ∆BHD (vuông tại H) và ∆CKE (vuông tại K) có:

BH = CK và $\widehat {HBD} = \widehat {KCE}$ (do $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ vì ∆ABC cân tại A)

Do đó ∆HBD = ∆KCE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng) và $\widehat {HDB} = \widehat {KEC\;}$ (hai góc tương ứng)

Nên $\widehat {ODE} = \widehat {OED}$ (đối đỉnh), suy ra ∆ODE cân tại O.

Vậy A, B, D là các khẳng định đúng. Ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì DM là đường trung trực của cạnh AB nên DA = DB.

Vì EN là đường trung trực của cạnh AC nên EA = EC.

Chu vi tam giác ADE là:

AD + DE + AE = BD + DE + EC = BC = 9 (cm).

Đáp án đúng là: B

Xét ∆ABC có hai đường cao AH, BK cắt nhau tại I nên I là trực tâm của ∆ABC, suy ra CI ⊥ AB.

Vì ∆BKC vuông tại K nên $\widehat {KBC} = 90^\circ - \widehat {ACB} = 50^\circ .$

Vì ∆BIH vuông tại H nên $\widehat {BIH} = 90^\circ - \widehat {KBC} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ .$

Vì hai góc HIK và BIH kề bù nên ta $\widehat {HIK} = 180^\circ - \widehat {BIH} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ .$

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì điểm O cách đều ba điểm A, B, C nên O là giao của ba đường trung trực của tam giác ABC hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Để xác định vị trí điểm O ta chỉ cần xác định giao điểm của hai trong ba đường trung trực của tam giác ABC.

Vậy kho hàng ở giao điểm của hai đường trung trực của AB và AC để khoảng cách từ kho đến các cửa hàng bằng nhau.

Đáp án đúng là: C

Xét ∆ABC có $\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$

Suy ra $\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 110^\circ - 70^\circ .$

Ta có E nằm trên đường trung trực của AB nên ∆EAB cân ở E, do đó $\widehat {EAB} = \widehat {EBA}.$

Tương tự, F nằm trên đường trung trực của AC nên ∆FAC cân ở F, do đó $\widehat {FAC} = \widehat {FCA}.$

Ta có $\widehat {EAF} = \widehat {BAC} - \widehat {BAE} - \widehat {CAF} = \widehat {BAC} - \widehat {EBA} - \widehat {FCA}$

$$= \widehat {BAC} - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 110^\circ - 70^\circ = 40^\circ .$$

Đáp án đúng là: D

⦁ Vì AB là đường trung trực của MD.

Nên AD = AM và BD = BM (tính chất đường trung trực)

Suy ra ∆ADM cân tại A.

Xét DABD và DABM có:

AD = AM (chứng minh trên),

AB là cạnh chung,

BD = BM (chứng minh trên),

Do đó DABD = DABM (c.c.c)

Suy ra $\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}$ (hai góc tương ứng)

Vì vậy $\widehat {MAD} = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = 2\widehat {{A_2}}$.

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat {{A_3}} = \widehat {{A_4}}$ và $\widehat {MAE} = \widehat {{A_3}} + \widehat {{A_4}} = 2\widehat {{A_3}}$.

Ta có $\widehat {DAE} = \widehat {MAD} + \widehat {MAE} = 2\left( {\widehat {{A_2}} + \widehat {{A_3}}} \right) = 2\widehat {BAC} = 2.90^\circ = 180^\circ$.

Suy ra ba điểm D, A, E thẳng hàng. Do đó phương án A đúng.

⦁ Vì ba điểm D, A, E thẳng hàng

Nên DE = DA + AE = AM + AM = 2AM.

Suy ra DE ngắn nhất khi và chỉ khi AM ngắn nhất. Do đó phương án B đúng.

⦁ Vì M thuộc cạnh BC nên AM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A lên cạnh BC (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên). Do đó phương án C đúng.

Vậy ta chọn phương án D.