10 Bài tập Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Do ∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Suy ra A thuộc đường trung trực của BC (1)

Do ∆DBC cân tại D nên DB = DC.

Suy ra D thuộc đường trung trực của BC (2)

Do ∆EBC cân tại E nên EB = EC.

Suy ra E thuộc đường trung trực của BC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ba điểm A, D, E cùng nằm trên đường trung trực của BC.

Mà ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC và phân biệt nên A, D, E phân biệt.

Do đó ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC, do đó A nằm trên đường trung trực của BC (1)

Xét ∆ABD (vuông tại B) và ∆ACD (vuông tại C) có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A);

AD là cạnh chung

Do đó ∆ABD = ∆ACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra DB = DC (hai cạnh tương ứng)

Từ đó ta có D nằm trên đường trung trực của BC (2)

Mặt khác, M là trung điểm của BC nên M cũng nằm trên đường trung trực của BC (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có ba điểm A, M, D nằm trên đường trung trực của BC

Suy ra ba điểm A, M, D thẳng hàng.

Vậy cả hai khẳng định (I) và (II) đều đúng. Ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Gọi I là trung điểm của AB, K là trung điểm AC.

Khi đó DI và DK lần lượt là đường trung trực của AB và AC.

Do đó DI ⊥ AB và DK ⊥ AC.

Ta có${\rm{ }}{\widehat D_2} = 90^\circ - \widehat {DAK}$ và ${\widehat D_3} = 90^\circ - \widehat {DAI}$ (các cặp góc phụ nhau)

Suy ra ${\widehat D_2}{\rm{ + }}{\widehat D_3} = 180^\circ - \left( {\widehat {DAK} + \widehat {DAI}} \right) = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Hay $\widehat {IDK} = 90^\circ$ nên hai đường trung trực DI, DK của AB và AC vuông góc với nhau.

Xét ∆DAK và ∆DCK có:

$$\widehat {DKA}{\rm{ = }}\widehat {DKC}{\rm{ }}\left( { = 90^\circ } \right);$$

DK cạnh chung;

AK = CK (do K là trung điểm của AC).

Suy ra ∆DAK = ∆DCK (hai cạnh góc vuông)

Suy ra ${\widehat D_1}{\rm{ = }}{\widehat D_2}$ (hai góc tương ứng)

Chứng minh tương tự, ta có ∆DAI = ∆DCI suy ra ${\widehat D_3}{\rm{ = }}{\widehat D_4}{\rm{ }}$

Ta có ${\widehat D_1} + {\widehat D_2}{\rm{ + }}{\widehat D_3} + {\widehat D_4} = 2 \cdot \left( {{{\widehat D}_2}{\rm{ + }}{{\widehat D}_3}} \right) = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$

Suy ra $\widehat {BCD} = 180^\circ$ hay ba điểm B, D,C thẳng hàng.

Vậy các phương án A, C, D đều là khẳng định đúng. Ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì BD = BA do đó tam giác ABD cân tại B.

Nên BM là đường phân giác cũng là đường trung trực của cạnh AD trong tam giác.

Suy ra BM ⊥ AD (1)

Kéo dài AK cắt DH tại J.

Khi đó ∆ADJ có AH ⊥ DJ, DK ⊥ AJ và AH cắt DK tại M nên M là trực tâm của ∆ADJ.

Suy ra JM ⊥ AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm B, M, J thẳng hàng hay AK, BM, DH là ba đường đồng quy.

Do BM là đường trung trực của AD nên MA = MD.

Xét ∆BAM và ∆BDM có:

BM là cạnh chung; BA = BD (giả thiết); MA = MD (chứng minh trên)

Do đó ∆BAM = ∆BDM (c.c.c)

Suy ra $\widehat {BAM} = \widehat {BDM}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {BAM} = 90^\circ$ nên $\widehat {BDM} = 90^\circ$ hay MD ⊥ BC, tức DK ⊥ BC.

Lại có DK ⊥ AK tại K nên AK // BC.

Vậy cả (I), (II) và (III) đều đúng. Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét ∆AOM và ∆BOM có:

$$\widehat {OAM} = \widehat {OBM}\left( { = 90^\circ } \right);$$

OM là cạnh chung;

OA = OB (giả thiết)

Do đó ∆AOM = ∆BOM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra MA = MB (hai cạnh tương ứng).

Nên M nằm trên đường trung trực của AB.

Lại có OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của AB.

Do đó OM là đường trung trực của AB, nên OM ⊥ AB.

Xét ∆AOB có ba đường cao OM, AC, BD nên ba đường này đồng quy tại một điểm.

Vậy cả A và B đều là khẳng định đúng.

Khi đó phương án D là sai. Ta chọn phương án D.