10 Bài tập Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì ΔABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác của ∆ABC.

Do đó $\widehat {CAM} = \widehat {BAM} = 30^\circ .$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét ∆AMB có MA = MB (giả thiết) suy ra ∆AMB cân tại M nên $\widehat {{A_1}} = \widehat B$.

Xét ∆AMC có MA = MC (giả thiết) suy ra ∆AMC cân tại M nên $\widehat {{A_2}} = \widehat C$.

Do đó $\widehat B + \widehat C = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC}$

Mặt khác: $\widehat B + \widehat C + \widehat {BAC} = 180^\circ$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat {BAC} + \widehat {BAC} = 180^\circ$ hay $2\widehat {BAC} = 180^\circ$.

Do đó: $\widehat {BAC} = 90^\circ$

Vậy ΔABC vuông tại A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét ∆AHB (vuông tại H) và AHC (vuông tại H) có:

AB = AC (do ΔABC cân tại A);

AH là cạnh chung

Do đó: ΔAHB = ΔAHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra HB = HC (hai cạnh tương ứng)

Ta có CE = CB = HB + HC = 2CH

Xét ΔADE có EH là đường trung tuyến mà CE = 2CH nên C là trọng tâm của ΔADE.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét ∆ABC có hai đường trung tuyến BN, CP cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC. Do đó AG là đường trung tuyến thứ ba của tam giác.

Giả sử AG cắt BC tại O.

Khi đó O là trung điểm của BC nên GO là đường trung tuyến của ∆GBC.

Xét ΔBGC vuông tại G (do $\widehat {BGC} = 90^\circ ),$ có GO là đường trung tuyến của ∆GBC nên theo kết quả của Ví dụ 2, ta suy ra $OG = OB = OC = \frac{1}{2}BC.$

Mà $OG = \frac{1}{2}AG$ (do G là trọng tâm của ∆ABC)

Suy ra AG = BC = 5 (cm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có ΔABC vuông tại A và trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC nên theo kết quả của Ví dụ 2, ta có $AM = \frac{1}{2}BC,$ hay BC = 2AM.

Xét ΔABC có BC < AB + AC (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra 2AM < AB + AC hay $AM < \frac{{AB + AC}}{2}.$