10 Bài tập Trường hợp đồng dạng đặc biệt của hai tam giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC.

Vì M, P lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Suy ra MP là đường trung bình của tam giác ABC nên MP // AC.

Vì N, P lần lượt là trung điểm của AC, BC.

Suy ra NP là đường trung bình của tam giác ABC nên NP // AB.

Xét tam giác ABC:

+ Do MN // BC nên ΔAMN ᔕ ΔABC.

+ Do MP // AC nên ΔMBP ᔕ ΔABC.

+ Do NP // AB nên ΔNPC ᔕ ΔABC.

Vì ΔAMN ᔕ ΔABC, ΔMBP ᔕ ΔABC, ΔNPC ᔕ ΔABC nên các tam giác AMN, MBP, NPC đôi một đồng dạng với nhau.

Xét hai tam giác AMN và PNM có:

AM = PN $=\frac{1}{2}\text{AB}$

MN: Cạnh chung

MP = AN $=\frac{1}{2}\text{AC}$

Suy ra ΔAMN = ΔPNM (c – c – c).

Do đó, ΔAMN ᔕ ΔPNM.

Từ đó suy ra 5 tam giác AMN, PNM, MBP, NPC, ABC đôi một đồng dạng với nhau.

Vậy có tất cả 10 cặp tam giác đồng dạng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC, do MN // AB nên ΔMCN ᔕ ΔACB.

Lại có $\widehat{\text{AMP}}\text{=}\widehat{\text{ACB}}$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MP // CB.

Xét tam giác ABC, do MP // CB nên ΔAMP ᔕ ΔACB.

Vì ΔMCN ᔕ ΔACB, ΔAMP ᔕ ΔACB nên ΔAMP ᔕ ΔMCN.

Vậy D sai.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác CEB, do AM // EB nên ΔCAM ᔕ ΔCEB.

Suy ra $\frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{BE}}}} = \frac{{{\rm{CM}}}}{{{\rm{CB}}}}$.

Xét tam giác FBC, do AM // FC nên ΔBAM ᔕ ΔBFC.

Suy ra $\frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{FC}}}} = \frac{{{\rm{BM}}}}{{{\rm{BC}}}}$.

Ta có $\frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{BE}}}} + \frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{FC}}}} = \frac{{{\rm{CM}}}}{{{\rm{CB}}}} + \frac{{{\rm{BM}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{{CM + BM}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1$.

Hay ${\rm{AM}}\left( {\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{BE}}}} + \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{FC}}}}} \right) = 1$

Suy ra $\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{BE}}}} + \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{FC}}}} = \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{AM}}}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có BC = CE + EB = 6 + 2 = 8.

Ta có DE ⊥ BC, AB ⊥ BC nên DE // AB.

Xét tam giác ABC, do DE // AB nên ΔCDE ᔕ ΔCAB.

Suy ra $\frac{\text{CD}}{\text{CA}}=\frac{\text{CE}}{\text{CB}}$ hay $\frac{9}{\text{CA}}=\frac{\text{6}}{\text{8}}$.

Suy ra $\text{CA}=\frac{9\cdot 8}{6}=12$.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC, do MN // BC nên ΔAMN ᔕ ΔABC.

Suy ra $\frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{MN}}}}{{{\rm{BC}}}}$.

Vậy A đúng.