10 Bài tập Lập phương trình chính tắc của hypebol (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Giả sử hypebol (H) có phương trình là: $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1,\ a,b>0.$

(H) có tiêu điểm ${F}_{1}(-\sqrt{5};0)$ suy ra $c=\sqrt{5}$ nên c$^{2}$ = 5.

Độ dài trục ảo 2b = 4 suy ra b = 2 nên b$^{2}$ = 4.

Ta có c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ nên a$^{2}$ = c$^{2}$ – b$^{2}$ = 5 – 4 = 1.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{{x}^{2}}{1}-\frac{{y}^{2}}{4}=1.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Do (H) đi qua điểm A$_{1}$(–7; 0) nên $\frac{{(-7)}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$ do đó a$^{2}$ = 49.

Theo bài, $\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}=2.$ Hay $\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=2.$ Do đó c$^{2}$ = 98.

Ta có c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ nên b$^{2}$ = c$^{2}$ – a$^{2}$ = 98 – 49 = 49.

Phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{{x}^{2}}{49}-\frac{{y}^{2}}{49}=1.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Giả sử hypebol có phương trình là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1,\ a,b>0.$

Giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 6 nên 2a = 6, suy ra a = 3.

Hypebol có tiêu cự bằng 8 suy ra 2c = 8, tức là c = 4.

Ta có c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ nên b$^{2}$ = c$^{2}$ – a$^{2}$ = 4$^{2}$ – 3$^{2}$ = 7.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là: $\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{7}=1.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Giả sử hypebol có phương trình là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1,\ a,b>0.$

Hai điểm $A(4\sqrt{2};2),B(-6;-\sqrt{5})$ thuộc vào hypebol nên ta có hệ phương trình sau:

$\{\begin{matrix}\frac{32}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1 \\ \frac{36}{{a}^{2}}-\frac{5}{{b}^{2}}=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}\frac{1}{{a}^{2}}=\frac{1}{16} \\ \frac{1}{{b}^{2}}=\frac{1}{4}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{a}^{2}=16 \\ {b}^{2}=4\end{matrix}$.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$