10 Bài tập Lập phương trình chính tắc của hypebol (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Giả sử hypebol (H) có phương trình là: $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1,\ a,b>0.$

(H) có tiêu điểm ${F}_{1}(-\sqrt{5};0)$ suy ra $c=\sqrt{5}$ nên c$^{2}$ = 5.

Độ dài trục ảo 2b = 4 suy ra b = 2 nên b$^{2}$ = 4.

Ta có c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ nên a$^{2}$ = c$^{2}$ – b$^{2}$ = 5 – 4 = 1.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{{x}^{2}}{1}-\frac{{y}^{2}}{4}=1.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Do (H) đi qua điểm A$_{1}$(–7; 0) nên $\frac{{(-7)}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$ do đó a$^{2}$ = 49.

Theo bài, $\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}=2.$ Hay $\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=2.$ Do đó c$^{2}$ = 98.

Ta có c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ nên b$^{2}$ = c$^{2}$ – a$^{2}$ = 98 – 49 = 49.

Phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{{x}^{2}}{49}-\frac{{y}^{2}}{49}=1.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Giả sử hypebol có phương trình là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1,\ a,b>0.$

Giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 6 nên 2a = 6, suy ra a = 3.

Hypebol có tiêu cự bằng 8 suy ra 2c = 8, tức là c = 4.

Ta có c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ nên b$^{2}$ = c$^{2}$ – a$^{2}$ = 4$^{2}$ – 3$^{2}$ = 7.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là: $\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{7}=1.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Giả sử hypebol có phương trình là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1,\ a,b>0.$

Hai điểm $A(4\sqrt{2};2),B(-6;-\sqrt{5})$ thuộc vào hypebol nên ta có hệ phương trình sau:

$\{\begin{matrix}\frac{32}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1 \\ \frac{36}{{a}^{2}}-\frac{5}{{b}^{2}}=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}\frac{1}{{a}^{2}}=\frac{1}{16} \\ \frac{1}{{b}^{2}}=\frac{1}{4}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{a}^{2}=16 \\ {b}^{2}=4\end{matrix}$.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình chính tắc của hypebol (H): $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1,\ a,b>0.$

(H) có một tiêu điểm là $(\sqrt{34};0)$ suy ra $c=\sqrt{34}$ nên c$^{2}$ = 34.

Độ dài trục thực là 2a = 10 nên a = 5, do đó a$^{2}$ = 25.

Ta có c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ nên b$^{2}$ = c$^{2}$ – a$^{2}$ = 34 – 25 = 9.

Vậy phương trình chính tắc của (H) là: $\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình chính tắc của hypebol (H): $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1,\ a,b>0.$

(H) có một tiêu điểm là (5; 0) nên c = 5 suy ra c$^{2}$ = 25.

Độ dài trục ảo là 2b = 6 nên b = 3. Do đó b$^{2}$ = 9.

Ta có c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ nên a$^{2}$ = c$^{2}$ – b$^{2}$ = 25 – 9 = 16.

Vậy phương trình chính tắc của (H) là: $\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1,\ a,b>0.$

(H) có một tiêu điểm ${F}_{1}(-\sqrt{10};0)$ suy ra $c=\sqrt{10}$ nên c$^{2}$ = 10.

Ta có c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ nên b$^{2}$ = c$^{2}$ – a$^{2}$ = 10 – a$^{2}$.

Điểm $A(4;-\sqrt{2})\in (H)$ nên ta có $\frac{16}{{a}^{2}}-\frac{2}{{b}^{2}}=1$ (*)

Thay b$^{2}$ = 10 – a$^{2}$ vào (*) ta được:

$\frac{16}{{a}^{2}}-\frac{2}{10-{a}^{2}}=1\Leftrightarrow 160-16{a}^{2}-2{a}^{2}=10{a}^{2}-{a}^{4}$

$\Leftrightarrow {a}^{4}-28{a}^{2}+160=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}{a}^{2}=20 \\ {a}^{2}=8\end{matrix}.$

Với a$^{2}$ = 20 ta có b$^{2}$ = 10 – a$^{2}$ = 10 – 20 = –10 (loại).

Với a$^{2}$ = 8 ta có b$^{2}$ = 10 – a$^{2}$ = 10 – 8 = 2.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ là $\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=O{F}_{1}=O{F}_{2}$ và $MO=\sqrt{{(\frac{4\sqrt{34}}{5})}^{2}+{(\frac{9}{5})}^{2}}=5$.

Mà tam giác MF$_{1}$F$_{2}$ vuông tại M có đường trung tuyến MO ứng với cạnh huyền F$_{1}$F$_{2}$ nên $MO=\frac{1}{2}{F}_{1}{F}_{2}$

Suy ra F$_{1}$F$_{2}$ = 2OM = 10.

Mà F$_{1}$F$_{2}$ = 2c nên 2c = 10 do đó c = 5.

Ta có c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ nên a$^{2}$ + b$^{2}$ = 25 nên b$^{2}$ = 25 – a$^{2}$.

Vì (H) đi qua điểm $M(\frac{4\sqrt{34}}{5};\frac{9}{5})$ nên ta có $\frac{{(\frac{4\sqrt{34}}{5})}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{(\frac{9}{5})}^{2}}{{b}^{2}}=1$ hay $\frac{544}{25{a}^{2}}-\frac{81}{25{b}^{2}}=1$

Do đó $\frac{544}{{a}^{2}}-\frac{81}{{b}^{2}}=25$ (*)

Thay b$^{2}$ = 25 – a$^{2}$ vào (*) ta được:

$\frac{544}{{a}^{2}}-\frac{81}{25-{a}^{2}}=25\Leftrightarrow 544(25-{a}^{2})-81{a}^{2}=25{a}^{2}(25-{a}^{2})$

⇔ 13 600 – 544a$^{2}$ – 81a$^{2}$ = 625a$^{2}$ – 25a$^{4}$

⇔ 25a$^{4}$ – 1 250a$^{2}$ + 13 600 = 0

⇔ a$^{2}$ = 34 hoặc a$^{2}$ = 16

Với a$^{2}$ = 34 ta có b$^{2}$ = 25 – a$^{2}$ = 25 – 34 = –9 (loại).

Với a$^{2}$ = 16 ta có b$^{2}$ = 25 – a$^{2}$ = 25 – 16 = 9. Do đó b = 3 (do b > 0).

Khi a$^{2}$ = 16 thì a = 4 (do a > 0).

Vậy a.b = 12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi phương trình đường hypebol $(H)$ có dạng: $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1,\ a,b>0.$

Ta có $|M{F}_{1}-M{F}_{2}|=|\frac{9}{4}-\frac{41}{4}|=8.$

Mà |MF$_{1}$ – MF$_{2}$| = 2a nên 2a = 8, do đó a = 4.

Gọi M(−5; y$_{0}$) và F$_{1}$(−c; 0), F$_{2}$(c; 0).

Khi đó $M{F}_{1}^{2}={(-c+5)}^{2}+{(-{y}_{0})}^{2};M{F}_{2}^{2}={(c+5)}^{2}+{(-{y}_{0})}^{2}.$

Do đó ${(c-5)}^{2}+{y}_{0}^{2}=\frac{81}{16};\ {(c+5)}^{2}+{y}_{0}^{2}=\frac{1\ 681}{16}.$

Suy ra ${(c+5)}^{2}-{(c-5)}^{2}=\frac{1\ 681}{16}-\frac{81}{16}$

Hay 20c = 100 nên c = 5.

Ta có c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ nên b$^{2}$ = c$^{2}$ – a$^{2}$ = 25 – 16 = 9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là $(H):\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$.