10 Bài tập Cách xác định mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương (có lời giải)

Đáp án đúng là: B.

A. Ta có:

P: “Một tứ giác là hình vuông”.

Q: “Tứ giác đó có bốn cạnh bằng nhau”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì tứ giác đó là hình vuông”.

Ta thấy mệnh đề trên sai do một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì nó có thể là hình thoi chứ chưa chắc là hình vuông.

B. Ta có:

P: “Một tứ giác là hình thoi”.

Q: “Tứ giác đó có bốn cạnh bằng nhau”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì tứ giác đó là hình thoi”.

Ta thấy mệnh đề đúng vì một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì nó là hình thoi theo định nghĩa hình thoi.

C. Ta có:

P: “Một tứ giác là hình chữ nhật”.

Q: “Tứ giác đó có hai cặp cạnh đối bằng nhau”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu một tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là hình chữ nhật”.

Ta thấy mệnh đề trên sai do một tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau thì nó có thể là hình bình hành chứ chưa chắc là hình chữ nhật.

D. Ta có:

P: “Một tứ giác là hình thoi”.

Q: “Tứ giác đó có hai đường chéo vuông góc với nhau ”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác đó là hình thoi”.

Ta thấy mệnh đề trên sai do một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau thì nó chưa chắc là hình thoi.

Đáp án đúng là: C.

Với:

P: “Hai số nguyên dương m, n đều không chia hết cho 9”.

Q: “Tích m.n không chia hết cho 9”.

Ta có thể phát biểu mệnh đề P ⇔ Q như sau:

“Hai số nguyên dương m, n đều không chia hết cho 9 khi và chỉ khi tích m.n không chia hết cho 9”.

Đáp án đúng là: D.

Xét mệnh đề: “x$^{2}$ – 1 chia hết cho 24 khi và chỉ khi x là một số nguyên tố lớn hơn 3”.

Đặt:

P: “x$^{2}$ – 1 chia hết cho 24”.

Q: “x là một số nguyên tố lớn hơn 3”.

Ta viết lại các mệnh đề ở đáp án như sau:

A. P tương đương với Q.

B. P là điều kiện cần và đủ để có Q.

C. P nếu và chỉ nếu Q.

D. P là điều kiện đủ để có Q.

Đối với mệnh đề P ⇔ Q, ta có thể phát biểu theo một số cách sau:

+ P tương đương Q;

+ P là điều kiện cần và đủ để có Q;

+ P nếu và chỉ nếu Q;

+ P khi và chỉ khi Q.

Ta thấy cách phát biểu ở câu D không nằm trong mấy cách phát biểu ở lý thuyết nên mệnh đề tương đương ở câu D sai.

Đáp án đúng là: A.

A. Xét mệnh đề: “ABC là tam giác đều ⇒ ABC là tam giác cân”.

Ta thấy mệnh đề trên đúng do một tam giác là tam giác đều thì nó cũng là tam giác cân.

- Xét mệnh đề đảo: “ABC là tam giác cân ⇒ ABC là tam giác đều”.

Ta thấy mệnh đề này sai vì tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau, tuy nhiên điều kiện để một tam giác là tam giác đều khi nó có ba cạnh. Do đó một tam giác cân chưa chắc đã là tam giác đều.

Do đó mệnh đề ở câu A sai.

B. Xét mệnh đề: “ABC là tam giác đều ⇒ tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau”.

Vì một tam giác là tam giác đều thì nó có ba cạnh bằng nhau nên mệnh đề trên đúng.

- Xét mệnh đề đảo: “Tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau ⇒ ABC là tam giác đều”.

Ta thấy mệnh đề này đúng vì nếu một tam giác có ba cạnh bằng nhau thì tam giác đó đều.

Do đó mệnh đề ở câu B đúng.

C. Xét mệnh đề: “ABC là tam giác đều ⇒ tam giác ABC cân và có một góc bằng 60°”.

Ta thấy mệnh đề này đúng vì đó là tính chất của một tam giác đều.

- Xét mệnh đề đảo: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng 60° ⇒ ABC là tam giác đều”.

Mệnh đề này đúng vì một trong những dấu hiệu của một tam giác đều là tam giác đó cân và có một góc bằng 60°.

Do đó mệnh đề ở câu C đúng.

D. Xét mệnh đề: “ABC là tam giác đều ⇒ tam giác ABC có hai góc bằng 60°”.

Mệnh đề này đúng vì tam giác đều có ba góc bằng 60°.

Xét mệnh đề đảo: “Tam giác ABC có hai góc bằng 60° ⇒ ABC là tam giác đều”.

Mệnh đề này cũng đúng vì một tam giác có hai góc bằng 60° là một dấu hiệu của tam giác đều.

Do đó mệnh đề ở câu D đúng.

Đáp án đúng là: A.

(1) Ta có:

P: “Một số tự nhiên n chia hết cho 24”.

Q: “n chia hết cho 4 và 6”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu một số tự nhiên n chia hết cho 4 và 6 thì nó chia hết cho 24”.

Ta thấy mệnh đề trên sai vì một số tự nhiên chia hết cho 4 và 6 chưa chắc nó đã chia hết cho 24.

Ví dụ: Số 12 chia hết cho cả 4 và 6, tuy nhiên nó không chia hết cho 24.

(2) Ta có:

P: “Mỗi số tự nhiên a, b chia hết cho 11”.

Q: “Tổng hai số a và b chia hết cho 11”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu tổng hai số a và b chia hết cho 11 thì mỗi số tự nhiên a, b chia hết cho 11”.

Ta thấy mệnh đề trên sai vì tổng hai số a và b chia hết cho 11 thì mỗi số a và b chưa chắn đã chia hết cho 11.

Chẳng hạn a = 5, b = 6, a + b = 11.

Ta thấy tổng a + b = 11 chia hết cho 11, tuy nhiên 5 và 6 lại không chia hết cho 11.

(3) Ta có:

P: “Một tứ giác là hình thang cân”.

Q: “Hai đường chéo của nó bằng nhau”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu hai đường chéo của một tứ giác bằng nhau thì tứ giác đó là hình thang cân”.

Ta thấy mệnh đề trên đúng vì một tứ giác có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân (theo dấu hiệu nhận biết).

Vì vậy có một mệnh đề đảo đúng.