10 Bài tập Áp dụng công thức lượng giác vào các bài toán rút gọn, chứng minh đẳng thức lượng giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\frac{\sin \frac{π}{15}cos\frac{π}{10}+\sin \frac{π}{10}cos\frac{π}{15}}{cos\frac{2π}{15}cos\frac{π}{5}-\sin \frac{2π}{15}\sin \frac{π}{5}}$$=\frac{\sin (\frac{π}{15}+\frac{π}{10})}{cos(\frac{2π}{15}+\frac{π}{5})}=\frac{\sin (\frac{π}{6})}{cos(\frac{π}{3})}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$P = \frac{{1 + \sin 2\alpha + cos2\alpha }}{{\sin \alpha + cos\alpha }}$$= \frac{{\left( {1 + cos2\alpha } \right) + \sin 2\alpha }}{{\sin \alpha + cos\alpha }}$$= \frac{{2co{s^2}\alpha + 2\sin \alpha cos\alpha }}{{\sin \alpha + cos\alpha }}$

$= \frac{{2cos\alpha \left( {\sin \alpha + cos\alpha } \right)}}{{\sin \alpha + cos\alpha }}$$= 2cos\alpha$.

Có sin$^{2}$a + cos$^{2}$a = 1 mà $\sin \alpha = \frac{2}{3}$ nên $co{s^2}\alpha = \frac{5}{9}$.

Vì $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$ nên cosa > 0. Do đó $cos\alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

Vậy $P = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$A=\frac{2co{s}^{2}x-1}{\sin x+\cos x}=\frac{cos2x}{\sin x+\cos x}=\frac{co{s}^{2}x-{\sin }^{2}x}{\sin x+\cos x}$

$=\frac{(cosx-\sin x)(cosx+\sin x)}{\sin x+\cos x}=cosx-\sin x$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

$P=\frac{\cos a-cos5a}{\sin 4a+\sin 2a}=\frac{2\sin 3a\sin 2a}{2\sin 3a\cos a}=\frac{\sin 2a}{\cos a}=\frac{2\sin a\cos a}{\cos a}=2\sin a$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$A = \frac{{1 + cos\alpha + cos2\alpha + cos3\alpha }}{{2co{s^2}\alpha + cos\alpha - 1}}$

$= \frac{{\left( {1 + cos2\alpha } \right) + \left( {cos\alpha + cos3\alpha } \right)}}{{2co{s^2}\alpha + cos\alpha - 1}}$

$= \frac{{2co{s^2}\alpha + 2cos2\alpha cos\alpha }}{{\left( {2co{s^2}\alpha - 1} \right) + cos\alpha }}$

$= \frac{{2cos\alpha \left( {cos2\alpha + cos\alpha } \right)}}{{cos2\alpha + cos\alpha }}$

$= 2cos\alpha$.