TopStudy

Toán · Ôn vào lớp 10

Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán khu vực TP Hồ Chí Minh 2024 - 2025 (Đề 13)

8 câu · 12 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Làm bài

Nội dung đề

Phần I. Tự luận

Câu 1

1 điểm

Cho parabol (P):y=−x2\left( P \right):y = - {x^2} và đường thẳng (d):y=−3x+2\left( d \right):y = - 3x + 2.

1) Vẽ (P)\left( P \right) và (d)\left( d \right) trên cùng hệ trục tọa độ.

2) Tìm tọa độ giao điểm của (P)\left( P \right) và (d)\left( d \right) bằng phép tính.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Vẽ (P)\left( P \right) và (d)\left( d \right) trên cùng hệ trục tọa độ.

* Vẽ (P)\left( P \right): Ta có bảng giá trị sau:

xx−2- 2−1- 1012
y=−x2y = - {x^2}−4- 4−1- 10−1- 1−4- 4

Do đó, đồ thị hàm số là đường cong đi qua các điểm O(0 ;  0);  A(−2 ;  −4);  O\left( {0\,;\,\,0} \right);\,\,A\left( { - 2\,;\,\, - 4} \right);\,\,B(−1 ;  −1);B\left( { - 1\,;\,\, - 1} \right);

C(1 ;  −1);C\left( {1\,;\,\, - 1} \right);  D(2 ;  −4).\,D\left( {2\,;\,\, - 4} \right).

* Vẽ (d)\left( d \right): Ta có bảng giá trị:

xx01
y=−3x+2y = - 3x + 22−1- 1

Do đó, đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua các điểm E(0 ;  2);  C(1 ;  −1).E\left( {0\,;\,\,2} \right);\,\,C\left( {1\,;\,\, - 1} \right).

Ta vẽ được đồ thị hàm số y=−x2y = - {x^2} và y=−3x+2y = - 3x + 2 như sau:

Hình minh hoạ

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P)\left( P \right) và (d)\left( d \right) là

−x2=3x+2- {x^2} = 3x + 2

−x2+3x−2=0- {x^2} + 3x - 2 = 0

x=1x = 1 hoặc x=2x = 2

Với x=1x = 1 thì y=−1y = - 1;

Với x=2x = 2 thì y=−4y = - 4.

Vậy tọa độ giao điểm của (P)\left( P \right) và (d)\left( d \right) là (1 ;  −1)\left( {1\,;\,\, - 1} \right) và (2 ; −4)\left( {2\,;\, - 4} \right).

Câu 2

1 điểm

Cho phương trình 3x2−4x−2=03{x^2} - 4x - 2 = 0 có hai nghiệm là x1,x2{x_1},{x_2}.

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức A=x1x22+x2(x12+2)+2x1A = {x_1}x_2^2 + {x_2}\left( {x_1^2 + 2} \right) + 2{x_1}.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Phương trình có hai nghiệm là x1,  x2{x_1},\,\,{x_2} nên áp dụng định lí Viète, ta có: {x1+x2=−ba=43x1x2=ca=−23  (1)\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = \frac{4}{3}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 2}}{3}\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)

Ta có A=x1x22+x2(x12+2)+2x1=x1x22+x2x12+2x2+2x1A = {x_1}x_2^2 + {x_2}\left( {x_1^2 + 2} \right) + 2{x_1} = {x_1}x_2^2 + {x_2}x_1^2 + 2{x_2} + 2{x_1}

=x1x2(x1+x2)+2(x1+x2)=(x1x2+2)(x1+x2).= {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = \left( {{x_1}{x_2} + 2} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right).

Thay (1)\left( 1 \right) vào biểu thức A,A, ta có A=(−23+2)⋅43=169.A = \left( {\frac{{ - 2}}{3} + 2} \right) \cdot \frac{4}{3} = \frac{{16}}{9}. Vậy A=169.A = \frac{{16}}{9}.

Câu 3

1 điểm

Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài là 30m30{\rm{ m}} và chiều rộng là 20m.20{\rm{ m}}. Bác Năm làm một lối đi cho khu vườn như hình vẽ (phần tô đậm).

Hình minh hoạ

1) Hãy viết biểu thức (thu gọn) theo xx và yy biểu thị diện tích phần còn lại của khu vườn.

2) Tính diện tích phần còn lại của khu vườn khi x=2,4  mx = 2{,}4\,\,{\rm{m}} và y=1,8  m.y = 1{,}8\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Gọi các phần còn lại lần lượt là AA và BB (như hình vẽ).

Biểu thức biểu thị cạnh còn thiếu của AA là: 20−y.20 - y.

Biểu thức biểu thị diện tích phần AA là:

SA=15(20−y)=300−15y.{S_A} = 15\left( {20 - y} \right) = 300 - 15y.

Hình minh hoạ

Biểu thức biểu thị cạnh còn thiếu của BB là: 30−15−x=15−x.30 - 15 - x = 15 - x.

Biểu thức biểu thị diện tích phần BB là: SB=20(15−x)=300−20x.{S_B} = 20\left( {15 - x} \right) = 300 - 20x.

Vậy biểu thức là 15(20−y)+20(15−x)=600−20x−15y15\left( {20 - y} \right) + 20\left( {15 - x} \right) = 600 - 20x - 15y.

b) Thay x=2,4x = 2{,}4 và y=1,8y = 1{,}8 vào S,S, ta được:

S=600−20⋅2,4−15⋅1,8=525  (m2)S = 600 - 20 \cdot 2{,}4 - 15 \cdot 1{,}8 = 525\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).

Vậy diện tích phần còn lại của khu vườn là 525  m2.525\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.

Câu 4

1 điểm

Một cửa hàng xe máy điện cung cấp gói thuê pin theo tháng cho khách hàng dưới hai hình thức như sau:

⦁ Gói linh hoạt: mức giá là 189 000189\,000 đồng/tháng, cho phép xe di chuyển tối đa 400km.400{\rm{ km}}. Nếu vượt số ki-lô-mét này, người dùng sẽ trả thêm 374 đồng cho mỗi ki-lô-mét vượt.

⦁ Gói cố định: mức giá là 350  000350\,\,000 đồng/tháng, không giới hạn số ki-lô-mét di chuyển.

Trung bình mỗi tháng anh Tâm di chuyển 800km800{\rm{ km}} bằng xe máy điện. Hỏi anh Tâm nên thuê pin theo hình thức nào thì tiết kiệm hơn? Và tiết kiệm được bao nhiêu tiền mỗi tháng?

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Số tiền anh Tâm phải trả khi thuê pin gói linh hoạt là:

189  000+374(800−400)=338  600189\,\,000 + 374\left( {800 - 400} \right) = 338\,\,600 (đồng)

Do đó nếu sử dụng gói linh hoạt thì anh Tâm sẽ tiết kiệm được:

350  000−338  600=11400350\,\,000 - 338\,\,600 = 11400 (đồng).

Vậy anh Tâm nên sử dụng gói linh hoạt.

Câu 5

1 điểm

Anh Huy là một nghệ nhân và anh đang thiết kế một mô hình Trái đất dạng hình cầu có thể tích 4,2  dm34{,}2\,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}.

Hình minh hoạ

1) Tìm bán kính của mô hình Trái đất mà anh Huy thiết kế (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

2) Anh Huy dự định làm một cái hộp bằng giấy (bao gồm cả nắp hộp) để đựng mô hình Trái đất (như hình vẽ trên). Anh đang phân vân nên làm hộp hình lập phương hay hộp hình trụ thì tốn ít giấy hơn. Hãy cho biết anh Huy nên chọn phương án nào? Biết các mặt hộp đều tiếp xúc với mô hình Trái đất và lượng giấy phát sinh là không đáng kể.

Cho biết công thức thể tích khối cầu là V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi {R^3} với RR là bán kính khối cầu. Diện tích toàn phần hình trụ là S=2πRh+2πR2S = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} với RR là bán kính đáy hình trụ, hh là chiều cao hình trụ.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Ta có: V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi {R^3} nên R=3V4π3=3⋅4,24π3≈1  (dm).R = \sqrt[3]{{\frac{{3V}}{{4\pi }}}} = \sqrt[3]{{\frac{{3 \cdot 4{,}2}}{{4\pi }}}} \approx 1\,\,\left( {{\rm{dm}}} \right).

Vậy bán kính của mô hình Trái đất mà anh Huy thiết kế khoảng 1  dm.1\,\,{\rm{dm}}.

b) Vì các mặt hộp đều tiếp xúc với mô hình Trái đất nên bán kính của hình trụ sẽ bằng bán kính hình cầu R=1R = 1 và chiều cao h=2R=2  dm.h = 2R = 2\,\,{\rm{dm}}{\rm{.}}

Diện tích các mặt của hình trụ là: S=2πRh+2πR2=2π⋅1⋅2+2π⋅12=6π  (dm2).S = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi \cdot 1 \cdot 2 + 2\pi \cdot {1^2} = 6\pi \,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).

Ta có hình lập phương có cạnh bằng 2R=2  dm .2R = 2\,\,{\rm{dm}}\,{\rm{.}}

Diện tích các mặt của hình lập phương là: S′=6⋅22=24  (dm2).S' = 6 \cdot {2^2} = 24\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).

Ta thấy 24  dm2>6π  dm224\,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} > 6\pi \,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}, do đó nếu làm hộp hình trụ sẽ tốn ít giấy hơn.

Vậy anh Huy nên chọn phương án làm hộp hình trụ.

Câu 6

1 điểm

Lúc 7 giờ sáng một xe máy xuất phát từ Thành phố Hồ Chí Minh đi về hướng Biên Hòa với tốc độ trung bình 40  km/40{\rm{\;km}}/giờ. Sau đó 15 phút, một ô tô xuất phát từ Biên Hòa đi về hướng Thành phố Hồ Chí Minh với tốc độ trung bình 60  km/60{\rm{\;km}}/giờ. Biết rằng Thành phố Hồ Chí Minh cách Biên Hòa 40km.40{\rm{ km}}.

⦁ Gọi f(t)=at+b,  (t≥0)f\left( t \right) = at + b,\,\,\left( {t \ge 0} \right) là hàm số biểu diễn khoảng cách của xe máy so với Thành phố Hồ Chí Minh sau khi đi được tt giờ kể từ lúc 7 giờ 15 phút.

⦁ Gọi g(t)=ct+d,  (0≤t≤23)g\left( t \right) = ct + d,\,\,\left( {0 \le t \le \frac{2}{3}} \right) là hàm số biểu diễn khoảng cách của ô tô so với Thành phố Hồ Chí Minh sau khi đi được tt giờ kể từ lúc 7 giờ 15 phút.

a) Tìm các hệ số a,  b,  c,  d.a,\,\,b,\,\,c,\,\,d.

b) Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ và nơi gặp nhau cách Thành phố Hồ Chí Minh bao nhiêu ki-lô-mét?

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Hai thùng chứa nước hình trụ đều được gắn một vòi chảy ở đáy thùng. Ban đầu chiều cao mực nước ở thùng thứ nhất hơn thùng thứ hai 0,2  m ,0{,}2\,\,{\rm{m}}\,{\rm{,}} để vệ sinh hai thùng này bạn Hân cần mở vòi cho nước chảy hết ra ngoài. Bạn Hân bắt đầu mở vòi cho thùng thứ nhất chảy từ 8 giờ sáng và sau đó 3 phút bắt đầu mở vòi cho thùng thứ hai chảy. Khi quan sát quá trình chảy của hai thùng, Hân thấy rằng:

⦁ Tại thời điểm 8 giờ 04 phút thì chiều cao mực nước hai thùng bằng nhau.

⦁ Tại thời điểm 8 giờ 08 phút thì thùng thứ hai vừa chảy hết nước và chiều cao mực nước còn lại ở thùng thứ nhất là 0,4  m0{,}4{\rm{\;m}}.

Tìm chiều cao mực nước ban đầu ở mỗi thùng. Biết rằng tốc độ chảy ở mỗi vòi là không đổi.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Từ điểm AA nằm bên ngoài đường tròn (O ;R)\left( {O\,;R} \right), kẻ hai tiếp tuyến AB,  ACAB,\,\,AC với đường tròn (B,C(B,C là các tiếp điểm), AOAO cắt BCBC tại KK.

1) Chứng minh ABOCABOC là tứ giác nội tiếp và AOAO là đường trung trực của đoạn thẳng BC.BC.

2) Gọi PP là điểm bất kì thuộc (O)\left( O \right) sao cho tia BOBO nằm giữa hai tia BPBP và BC,HBC,H là chân đường vuông góc kẻ từ BB xuống PC,MPC,M là trung điểm BHBH và PMPM cắt (O)\left( O \right) tại QQ (khác P).P). Chứng minh QMK^=QCA^\widehat {QMK} = \widehat {QCA}.

3) Chứng minh AQC^=90∘\widehat {AQC} = 90^\circ và AC=2R tanCPQ^AC = 2R\,{\rm{tan}}\widehat {CPQ}.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 8
Làm bài

Đề cùng chủ đề

Tất cả đề Đề thi thử · Các bộ sách Toán Ôn vào lớp 10